Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e entāo calcule a integral.
integral e^t(e^t-2)(e^2 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral e^xl(e^x-2r)l(e^2x+1r),dx
utilizando uma substituição que transforme o integrando numa função racional em u. Vamos usar a substituição apropriada para simplificar o integrando.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = e^x, du = e^x,dx,
temos e^x,dx = du e e^2x = (e^x)^2=u^2. Assim a integral fica
integral du(u-2)(u^2+1)

Passo 3

Para integrar
integral du(u-2)(u^2+1)
fazemos decomposição em frações parciais:
1(u-2)(u^2+1) = Au-2 + Bu+Cu^2+1

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (u-2)(u^2+1),
1 = A(u^2+1) + (Bu+C)(u-2)
Expandindo,
1 = A u^2 + A + B u^2 - 2B u + C u - 2C = (A+B),u^2 + (-2B+C),u + (A-2C)
Comparando coeficientes:
A + B = 0, -2B + C = 0, A - 2C = 1,
resolvendo obtemos
A = tfrac15, B = -tfrac15, C = -tfrac25

Passo 5

Logo
1(u-2)(u^2+1) = 1/5u-2 - 1/5,u + 2/5u^2+1
Assim a integral se separa em
integral du(u-2)(u^2+1) = 15integralduu-2 - 15integralu,duu^2+1 - 25integralduu^2+1
Calculando cada parte:
integralduu-2 = lnl|u-2r|, integralu,duu^2+1 = 12lnl(u^2+1r), integralduu^2+1 = arctan(u)
Portanto
integral du(u-2)(u^2+1) = 15lnl|u-2r| - 110lnl(u^2+1r) - 25arctan(u) + C

Resposta

Substituindo u=e^x, obtemos
integral e^x(e^x-2)(e^2x+1),dx = 15lnl|e^x-2r| - 110lnl(e^2x+1r) - 25arctanl(e^xr) + C

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