Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y, z)=(y^2+z^2)^x

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=l(y^2+z^2r)^x
Queremos as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial z. Para partial fpartial x é conveniente usar a reescrita exponencial e a regra da derivada de xmapsto e^xln g. Para partial fpartial y e partial fpartial z aplicamos a regra da cadeia sabendo que g(y,z)=y^2+z^2.

Passo 2

Reescrevendo
f(x,y,z)=e^,xlnl(y^2+z^2r),
temos
partial fpartial x =f(x,y,z),partialpartial xl[xln(y^2+z^2)r] =l(y^2+z^2r)^xlnl(y^2+z^2r)

Passo 3

Para partial fpartial y usamos f=g^x e partial gpartial y=2y. Assim
partial fpartial y =x,g^,x-1,partial gpartial y =x,(y^2+z^2)^x-1,(2y) =2xy,(y^2+z^2)^x-1

Passo 4

De modo análogo, como partial gpartial z=2z,
partial fpartial z =x,(y^2+z^2)^x-1,(2z) =2xz,(y^2+z^2)^x-1

Resposta

partial fpartial x =l(y^2+z^2r)^xlnl(y^2+z^2r),
partial fpartial y =2xy,(y^2+z^2)^x-1,
partial fpartial z =2xz,(y^2+z^2)^x-1

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