Encontre os pontos da curva dada por
x=t^4+1, y=t^3+t
em que a tangente é horizontal. Em que pontos a tangente é vertical? Calcule a equação da reta tangente e da reta normal a curva dada no ponto em que t=-1.

Passo 1

O enunciado define uma curva paramétrica dada por
x = t^4 + 1, y = t^3 + t
e pede (1) os pontos onde a tangente é horizontal ou vertical, e (2) a equação da reta tangente e da reta normal no ponto correspondente a t=-1. Para isso vamos usar a fórmula da derivada de uma curva paramétrica
dydx ;=;dydtdxdt

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas em relação a t:
dxdt = 4t^3, dydt = 3t^2 + 1
  • Tangente horizontal ocorre quando dydt=0 e dxdtneq0.
    A equação ,3t^2+1=0 não tem solução real, pois 3t^2+1>=1.
    Logo, não há ponto de tangente horizontal.

Passo 3

  • Tangente vertical ocorre quando dxdt=0 e dydtneq0.
    Da condição 4t^3=0 vem t=0.
    Em t=0 temos dydt=1neq0, então é válido.
    O ponto correspondente é x(0)=0^4+1=1, y(0)=0^3+0=0 A reta tangente vertical é simplesmente x = 1

Passo 4

Para t=-1 calculamos o ponto e a inclinação da tangente.
  • Ponto: x(-1)=(-1)^4+1=2, y(-1)=(-1)^3+(-1)=-2
  • Inclinação da tangente: mtan =dy/dtdx/dt|t=-1 =3cdot(-1)^2+14cdot(-1)^3 =3+1-4=-1
A equação da reta tangente, em forma ponto-inclinação, é
y - (-2) = -1l(x - 2r) Longrightarrow y = -x
A reta normal tem inclinação mnorm=-1/mtan=1, então
y - (-2) = 1l(x - 2r) Longrightarrow y = x - 4

Resposta

Não há tangentes horizontais.
Tangente vertical em (1,0): x=1.
No ponto de parâmetro t=-1, ou seja (2,-2):
tangente y=-x e normal y=x-4.

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