em que a tangente é horizontal. Em que pontos a tangente é vertical? Calcule a equação da reta tangente e da reta normal a curva dada no ponto em que .
Passo 1
O enunciado define uma curva paramétrica dada por
e pede (1) os pontos onde a tangente é horizontal ou vertical, e (2) a equação da reta tangente e da reta normal no ponto correspondente a . Para isso vamos usar a fórmula da derivada de uma curva paramétrica
Passo 2
Calculamos primeiro as derivadas em relação a :
Tangente horizontal ocorre quando e .
A equação não tem solução real, pois .
Logo, não há ponto de tangente horizontal.
Passo 3
Tangente vertical ocorre quando e .
Da condição vem .
Em temos , então é válido.
O ponto correspondente éA reta tangente vertical é simplesmente
Passo 4
Para calculamos o ponto e a inclinação da tangente.
Ponto:
Inclinação da tangente:
A equação da reta tangente, em forma ponto-inclinação, é
y - (-2) = -1l(x - 2r) Longrightarrow y = -x
A reta normal tem inclinação mnorm=-1/mtan=1, então
y - (-2) = 1l(x - 2r) Longrightarrow y = x - 4
Resposta
Não há tangentes horizontais.
Tangente vertical em (1,0): x=1.
No ponto de parâmetro t=-1, ou seja (2,-2):
tangente y=-x e normal y=x-4.