Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
\left(1 / x+2 y^{2} x\right) d x+\left(2 y x^{2}-\cos y\right) d y=0, y(-1)=\pi

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial
l(1x+2y^2xr),dx+l(2y,x^2-cos yr),dy=0
com condição y(-1)=pi. Vamos verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, achar a função potencial cuja diferencial total se anula.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=1x+2y^2x, N(x,y)=2y,x^2-cos y
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=4yx, partial Npartial x=4yx,
logo partial M/partial y=partial N/partial x e a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M(x,y)
Integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integrall(1x+2y^2xr),dx =lnlvert xrvert +y^2x^2+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo
partial phipartial y=N(x,y)
temos
partialpartial yl(lnlvert xrvert +y^2x^2+h(y)r) =2y,x^2+h'(y) stackrel!=2y,x^2-cos y
Dessa igualdade segue h'(y)=-cos y, logo
h(y)=-sin y

Passo 5

A condição inicial y(-1)=pi nos dá a constante da solução implícita
phi(-1,pi)=lnlvert -1rvert +pi^2cdot(-1)^2-sinpi =0+pi^2-0=pi^2
Portanto a solução geral implícita é
lnlvert xrvert +x^2y^2-sin y=pi^2

Resposta

lnlvert xrvert +x^2y^2-sin y=pi^2

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