Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
\left(1 / x+2 y^{2} x\right) d x+\left(2 y x^{2}-\cos y\right) d y=0, y(-1)=\pi
\left(1 / x+2 y^{2} x\right) d x+\left(2 y x^{2}-\cos y\right) d y=0, y(-1)=\pi
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial
com condição
. Vamos verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, achar a função potencial cuja diferencial total se anula.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
logo
e a equação é exata.
Passo 3
Procuramos uma função
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Impondo
temos
Dessa igualdade segue
, logo
Passo 5
A condição inicial
nos dá a constante da solução implícita
Portanto a solução geral implícita é