Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
z=x e^-y+y e^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função z = x e^-y + y e^-x . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, a gente vai precisar lembrar como calcular derivadas parciais e, depois, derivadas de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.

Passo 3

Vamos derivar z em relação a x :
partial zpartial x = partialpartial x ( x e^-y + y e^-x )
Como e^-y é constante em relação a x , a derivada de x e^-y em relação a x é simplesmente e^-y . Já para y e^-x , usamos a regra da cadeia:
partialpartial x ( y e^-x ) = y cdot (-e^-x) = -y e^-x
Então, temos:
partial zpartial x = e^-y - y e^-x

Passo 4

Agora, vamos derivar z em relação a y :
partial zpartial y = partialpartial y ( x e^-y + y e^-x )
Aqui, e^-x é constante em relação a y , então a derivada de y e^-x em relação a y é e^-x . Para x e^-y , aplicamos a regra da cadeia:
partialpartial y ( x e^-y ) = x cdot (-e^-y) = -x e^-y
Portanto:
partial zpartial y = -x e^-y + e^-x

Passo 5

Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa derivar novamente as derivadas de primeira ordem.

Passo 6

Primeiro, vamos derivar partial zpartial x = e^-y - y e^-x em relação a x :
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( e^-y - y e^-x )
O termo e^-y é constante em relação a x , então sua derivada é zero. Para -y e^-x :
partialpartial x ( -y e^-x ) = -y cdot (-e^-x) = y e^-x
Portanto:
partial^2 zpartial x^2 = y e^-x

Passo 7

Agora, vamos derivar partial zpartial x = e^-y - y e^-x em relação a y :
partial^2 zpartial y partial x = partialpartial y ( e^-y - y e^-x )
Derivando termo a termo:
partialpartial y (e^-y) = -e^-y
partialpartial y (-y e^-x) = -e^-x
Então:
partial^2 zpartial y partial x = -e^-y - e^-x

Passo 8

Agora, vamos derivar partial zpartial y = -x e^-y + e^-x em relação a y :
partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( -x e^-y + e^-x )
Aqui, e^-x é constante em relação a y , então sua derivada é zero. Para -x e^-y :
partialpartial y ( -x e^-y ) = -x cdot (-e^-y) = x e^-y
Logo:
partial^2 zpartial y^2 = x e^-y

Passo 9

Finalmente, vamos derivar partial zpartial y = -x e^-y + e^-x em relação a x :
partial^2 zpartial x partial y = partialpartial x ( -x e^-y + e^-x )
Derivando termo a termo:
partialpartial x (-x e^-y) = -e^-y
partialpartial x (e^-x) = -e^-x
Então:
partial^2 zpartial x partial y = -e^-y - e^-x

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função z = x e^-y + y e^-x são:
partial^2 zpartial x^2 = y e^-x
partial^2 zpartial y^2 = x e^-y
partial^2 zpartial x partial y = partial^2 zpartial y partial x = -e^-y - e^-x

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