Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para resolver, a gente vai precisar lembrar como calcular derivadas parciais e, depois, derivadas de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
:
Como
é constante em relação a
, a derivada de
em relação a
é simplesmente
. Já para
, usamos a regra da cadeia:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui,
é constante em relação a
, então a derivada de
em relação a
é
. Para
, aplicamos a regra da cadeia:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa derivar novamente as derivadas de primeira ordem.
Passo 6
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
O termo
é constante em relação a
, então sua derivada é zero. Para
:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Então:
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aqui,
é constante em relação a
, então sua derivada é zero. Para
:
Logo:
Passo 9
Finalmente, vamos derivar
em relação a
:
Derivando termo a termo:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: