Resolva os seguintes problemas de otimização:
Um pedaço de fio com 10 cm de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada no formato de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja máxima? E para ser mínima?
Um pedaço de fio com 10 cm de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada no formato de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja máxima? E para ser mínima?
Passo 1
O enunciado dá um fio de comprimento total
cm que é cortado em duas partes: uma de comprimento
cm usada para formar um quadrado e outra de comprimento
cm usada para formar um triângulo equilátero. Queremos escolher
(e, portanto,
) para que a área total seja máxima ou mínima.
Passo 2
A área do quadrado de perímetro
é
A área do triângulo equilátero de perímetro
é
Logo, a área total é
Passo 3
Calculamos a derivada de
e igualamos a zero para achar pontos críticos.
Impondo
obtém-se
Passo 4
O segundo derivada é
logo o ponto crítico encontrado é um mínimo de
.
Passo 5
Para verificar o máximo usamos os extremos do domínio
:
Como
, o máximo ocorre em
cm (todo o fio no quadrado).
Resposta
Para mínima área: cortar
cm para o quadrado e
cm para o triângulo.
Para máxima área: usar todos os cm no quadrado (e
cm no triângulo).
Para máxima área: usar todos os