Resolva os seguintes problemas de otimização:
Um pedaço de fio com 10 cm de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada no formato de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja máxima? E para ser mínima?

Passo 1

O enunciado dá um fio de comprimento total 10 cm que é cortado em duas partes: uma de comprimento x cm usada para formar um quadrado e outra de comprimento y cm usada para formar um triângulo equilátero. Queremos escolher x (e, portanto, y=10-x) para que a área total seja máxima ou mínima.

Passo 2

A área do quadrado de perímetro x é
Aq = l(x4r)^2 = x^216
A área do triângulo equilátero de perímetro y é
At = raiz34l(y3r)^2 = raiz336,y^2 = raiz336,(10 - x)^2
Logo, a área total é
A(x) = x^216 + raiz336,(10 - x)^2

Passo 3

Calculamos a derivada de A(x) e igualamos a zero para achar pontos críticos.
A'(x) = 2x16 + raiz336cdot 2,(10 - x),(-1) = x8 - raiz318,(10 - x)
Impondo A'(x)=0 obtém-se
x8 = raiz318,(10 - x) Longrightarrow x,(9 + 4raiz3) = 40raiz3 Longrightarrow x = 40raiz39 + 4raiz3

Passo 4

O segundo derivada é
A''(x) = 18 + raiz318 > 0,
logo o ponto crítico encontrado é um mínimo de A(x).

Passo 5

Para verificar o máximo usamos os extremos do domínio xin[0,10]:
A(0) = 016 + raiz336,10^2 = 100raiz336approx 4,82, A(10) = 10^216 + 0 = 10016=6,25
Como A(10)>A(0), o máximo ocorre em x=10 cm (todo o fio no quadrado).

Resposta

Para mínima área: cortar x = dfrac40raiz39+4raiz3approx4,35 cm para o quadrado e 10 - xapprox5,65 cm para o triângulo.
Para máxima área: usar todos os 10 cm no quadrado (e 0 cm no triângulo).

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