Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso está relacionado ao estudo de cálculo diferencial, especificamente às derivadas parciais e como elas são usadas para entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis
e
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as primeiras derivadas parciais e depois derivar novamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Isso significa que vamos derivar
considerando
como uma constante.
A função é:
Derivando em relação a
:
Explicação: A derivada de
em relação a
é
porque
é tratado como constante. A derivada de
em relação a
é
multiplicada pela derivada interna, que é 1.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
novamente para encontrar a segunda derivada parcial
.
Temos:
Derivando em relação a
:
Explicação: A derivada de
em relação a
é 0, pois
é constante. A derivada de
é
devido à regra da cadeia.
Passo 4
Vamos agora encontrar a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
.
A função é:
Derivando em relação a
:
Explicação: A derivada de
em relação a
é
porque
é tratado como constante. A derivada de
em relação a
é
multiplicada pela derivada interna, que é 1.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
novamente para encontrar a segunda derivada parcial
.
Temos:
Derivando em relação a
:
Explicação: A derivada de
em relação a
é 0, pois
é constante. A derivada de
é novamente
pela regra da cadeia.
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a derivada mista, que é derivar
em relação a
ou
em relação a
. Vamos derivar
em relação a
:
Temos:
Derivando em relação a
:
Explicação: A derivada de
em relação a
é 1. A derivada de
em relação a
é
.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: