Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
z=x y+ln (x+y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função z = x y + ln(x + y) . Isso está relacionado ao estudo de cálculo diferencial, especificamente às derivadas parciais e como elas são usadas para entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis x e y . Para resolver isso, vamos precisar calcular as primeiras derivadas parciais e depois derivar novamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de z em relação a x , que chamamos de zx . Isso significa que vamos derivar z considerando y como uma constante.
A função é:
z = x y + ln(x + y)
Derivando em relação a x :
zx = partial zpartial x = y + 1x + y
Explicação: A derivada de x y em relação a x é y porque y é tratado como constante. A derivada de ln(x + y) em relação a x é 1x + y multiplicada pela derivada interna, que é 1.

Passo 3

Agora, vamos derivar zx em relação a x novamente para encontrar a segunda derivada parcial zxx .
Temos:
zx = y + 1x + y
Derivando em relação a x :
zxx = partial^2 zpartial x^2 = 0 - 1(x + y)^2 = -1(x + y)^2
Explicação: A derivada de y em relação a x é 0, pois y é constante. A derivada de 1x + y é -1(x + y)^2 devido à regra da cadeia.

Passo 4

Vamos agora encontrar a derivada parcial de z em relação a y , chamada de zy .
A função é:
z = x y + ln(x + y)
Derivando em relação a y :
zy = partial zpartial y = x + 1x + y
Explicação: A derivada de x y em relação a y é x porque x é tratado como constante. A derivada de ln(x + y) em relação a y é 1x + y multiplicada pela derivada interna, que é 1.

Passo 5

Agora, vamos derivar zy em relação a y novamente para encontrar a segunda derivada parcial zyy .
Temos:
zy = x + 1x + y
Derivando em relação a y :
zyy = partial^2 zpartial y^2 = 0 - 1(x + y)^2 = -1(x + y)^2
Explicação: A derivada de x em relação a y é 0, pois x é constante. A derivada de 1x + y é novamente -1(x + y)^2 pela regra da cadeia.

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a derivada mista, que é derivar zx em relação a y ou zy em relação a x . Vamos derivar zx em relação a y :
Temos:
zx = y + 1x + y
Derivando em relação a y :
zxy = partial^2 zpartial y partial x = 1 - 1(x + y)^2
Explicação: A derivada de y em relação a y é 1. A derivada de 1x + y em relação a y é -1(x + y)^2 .

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função z = x y + ln(x + y) são:
zxx = -1(x + y)^2
zyy = -1(x + y)^2
zxy = zyx = 1 - 1(x + y)^2

Exercícios relacionados