Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Aqui, vamos trabalhar com derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e polinomiais, além de aplicar a regra da cadeia e a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
.
A função é:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada da função
em relação a
é
, então:
Calculando a derivada dentro:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
.
Usando novamente a regra da cadeia:
Calculando a derivada dentro:
Portanto:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Temos:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial mista, ou seja,
.
Temos:
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Temos:
Derivando
em relação a
usando a regra do quociente:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: