Determine as derivadas parciais de segunda ordem de cada função:
g(x, y)=ln (x^4+5 y^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Aqui, vamos trabalhar com derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e polinomiais, além de aplicar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de g(x, y) = ln ( x^4 + 5 y^2 ) em relação a gx = 1x^4 + 5y^2 cdot ddx(x^4 + 5y^2) , que chamaremos de ddx(x^4 + 5y^2) = 4x^3 + 0 = 4x^3 .
A função é:
gx = 4x^3x^4 + 5y^2
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada da função em relação a é , então:
Calculando a derivada dentro:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de gy = 1x^4 + 5y^2 cdot ddy(x^4 + 5y^2) em relação a ddy(x^4 + 5y^2) = 0 + 10y = 10y , que chamaremos de gy = 10yx^4 + 5y^2 .
Usando novamente a regra da cadeia:
Calculando a derivada dentro:
Portanto:

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial em relação a gx = 4x^3x^4 + 5y^2 , ou seja, gxx = ddx ( 4x^3x^4 + 5y^2 ) = (12x^2)(x^4 + 5y^2) - 4x^3(4x^3)(x^4 + 5y^2)^2 .
Temos:
12x^2(x^4 + 5y^2) - 16x^6 = 12x^6 + 60x^2y^2 - 16x^6 = -4x^6 + 60x^2y^2
Para derivar gxx = -4x^6 + 60x^2y^2(x^4 + 5y^2)^2 em relação a , usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada parcial mista, ou seja, gx = 4x^3x^4 + 5y^2 .
Temos:
gxy = ddy ( 4x^3x^4 + 5y^2 ) = 0 cdot (x^4 + 5y^2) - 4x^3 cdot 10y(x^4 + 5y^2)^2 = -40x^3 y(x^4 + 5y^2)^2
Derivando em relação a :

Passo 6

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a gy = 10yx^4 + 5y^2 , ou seja, gyy = ddy ( 10yx^4 + 5y^2 ) = 10(x^4 + 5y^2) - 10y cdot 10y(x^4 + 5y^2)^2 = 10x^4 + 50y^2 - 100y^2(x^4 + 5y^2)^2 = 10x^4 - 50y^2(x^4 + 5y^2)^2 .
Temos:
Derivando em relação a usando a regra do quociente:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função gxx = -4x^6 + 60x^2 y^2(x^4 + 5 y^2)^2 são:
gxy = -40x^3 y(x^4 + 5 y^2)^2
gyy = 10x^4 - 50y^2(x^4 + 5 y^2)^2

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