Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar para o valor dado de theta.
r=1+cos theta ; theta=pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = 1 + costheta
e pede a inclinação da reta tangente em theta = pi/2.
Conteúdo: derivadas em coordenadas polares e conversão para a forma paramétrica x(theta), y(theta). Vamos usar
dydx = dydthetadxdtheta

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x(theta) = rcostheta, y(theta) = rsintheta
Logo, por regra do produto,
dxdtheta = drdthetacostheta ;-; rsintheta,
dydtheta = drdthetasintheta ;+; rcostheta

Passo 3

Calculamos dfracdrdtheta. Como
r = 1 + costheta,
temos
drdtheta = -sintheta

Passo 4

Avaliamo as funções em theta = pi/2.
cosl(pi2r)=0, sinl(pi2r)=1, rl(tfracpi2r)=1+cosl(tfracpi2r)=1, drdthetal|theta=pi/2=-1

Passo 5

Substituindo em dfracdxdtheta e dfracdydtheta:
dxdtheta = (-1)cdot0 ;-; 1cdot1 = -1,
dydtheta = (-1)cdot1 ;+; 1cdot0 = -1

Passo 6

A inclinação da reta tangente é
dydx = dydthetadxdtheta = -1-1 = 1

Resposta

A inclinação da reta tangente em theta=pi/2 é 1.

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