Encontre a inclinação da reta tangente à curva polar para o valor dado de theta.
r=4-3 sen theta ; theta=pi

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta tangente à curva dada em coordenadas polares
r = 4 - 3sentheta
no ponto correspondente a theta=pi.
Conteúdo envolvido: derivada de curva em coordenadas polares, usando representação paramétrica (x(theta),y(theta)) e calculando
dydx = dydthetadxdtheta;

Passo 2

Convertemos para coordenadas cartesianas paramétricas:
x(theta) = r(theta)costheta,
y(theta) = r(theta)sintheta
Derivando em relação a theta e usando regra do produto, obtém-se
dxdtheta = drdthetacostheta ;-; r(theta)sintheta,
dydtheta = drdthetasintheta ;+; r(theta)costheta
Logo a inclinação da tangente é
dydx = dydthetadxdtheta = drdthetasintheta + rcosthetadrdthetacostheta - rsintheta

Passo 3

Calculamos primeiro drdtheta e os valores em theta=pi:
drdtheta = -3costheta,
em theta=pi temos cospi=-1 e senpi=0, portanto
r(pi) = 4 - 3cdot 0 = 4, drdtheta|theta=pi = -3cdot(-1) = 3

Passo 4

Substituindo em
dydx = (dr/dtheta)sintheta + rcostheta(dr/dtheta)costheta - rsintheta,
em theta=pi obtemos
numerador: 3cdot 0 + 4cdot(-1) = -4,
denominador: 3cdot(-1) - 4cdot 0 = -3
Logo
dydx|theta=pi = -4-3 = 43

Resposta

A inclinação da reta tangente no ponto theta=pi é 43.

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