Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
(b) f(x, y) = raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais primeiro de primeira ordem e depois diferenciá-las novamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a , que é denotada por . Para isso, usamos a regra da cadeia aplicada à função .
A derivada de em relação a é . Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, . Precisamos derivar em relação a .
Temos:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial mista . Para isso, derivamos em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, . Primeiro, encontramos a primeira derivada parcial :
Agora, derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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