Determine as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais primeiro de primeira ordem e depois diferenciá-las novamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial em relação a
, que é denotada por
. Para isso, usamos a regra da cadeia aplicada à função
.
A derivada de
em relação a
é
. Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Precisamos derivar
em relação a
.
Temos:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial mista
. Para isso, derivamos
em relação a
.
Derivando em relação a
:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Primeiro, encontramos a primeira derivada parcial
:
Agora, derivando
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: