Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e fora do cilindro x^2 + y^2 = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera definida por e fora do cilindro . Para isso, vamos usar coordenadas polares (mais exatamente, coordenadas cilíndricas, que são uma extensão das polares para 3D). Vamos precisar entender como converter as equações da esfera e do cilindro para coordenadas cilíndricas e montar uma integral tripla para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações da esfera e do cilindro para coordenadas cilíndricas. Lembre-se que em coordenadas cilíndricas, temos:
e .
Para a esfera , substituindo ficamos com:
Isso nos mostra que, para cada , varia de a .
Para o cilindro , em coordenadas cilíndricas fica:
Então, nosso sólido está fora do cilindro, ou seja, para .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos em coordenadas cilíndricas:
  • varia de 2 (fora do cilindro) até o raio da esfera no plano . Na esfera, quando , .
  • varia de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .
  • varia de a .

Passo 4

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral mais interna, em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em relação a . Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Seja , então . Assim:
Avaliado de a :
Calculando , então:

Passo 7

Agora, faltou integrar em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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