Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Dentro da esfera
fora do cilindro
Dentro da esfera
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera definida por
e fora do cilindro
. Para isso, vamos usar coordenadas polares (mais exatamente, coordenadas cilíndricas, que são uma extensão das polares para 3D). Vamos precisar entender como converter as equações da esfera e do cilindro para coordenadas cilíndricas e montar uma integral tripla para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações da esfera e do cilindro para coordenadas cilíndricas. Lembre-se que em coordenadas cilíndricas, temos:
e
.
Para a esfera
, substituindo
ficamos com:
Isso nos mostra que, para cada
,
varia de
a
.
Para o cilindro
, em coordenadas cilíndricas fica:
Então, nosso sólido está fora do cilindro, ou seja, para
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como estamos em coordenadas cilíndricas:
-
varia de 2 (fora do cilindro) até o raio da esfera no plano . Na esfera, quando , . -
varia de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do eixo . -
varia de a .
Passo 4
Vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral mais interna, em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral em relação a
. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Seja , então
. Assim:
Seja
Avaliado de
a
:
Calculando
, então:
Passo 7
Agora, faltou integrar em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.