Determine as derivadas parciais de segunda ordem ( fx x, fx y e fy y ).
f(x, y)=arctg(x+y1-x y)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=arctan!l(x+y1-xyr)
Para isso vamos usar a identidade de soma de arctangentes e depois aplicar derivação de arctan(u) e derivadas de funções de uma variável.

Passo 2

Para lvert xyrvert<1 vale a identidade
arctan(x)+arctan(y) =arctan!l(x+y1-xyr)
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f(x,y)=arctan(x)+arctan(y)
Dessa forma as derivadas de primeira ordem são
fx(x,y)=ddxl[arctan(x)+arctan(y)r] =11+x^2, fy(x,y)=ddyl[arctan(x)+arctan(y)r] =11+y^2

Passo 3

Agora derivamos mais uma vez em cada variável:
fxx(x,y)=ddxl(11+x^2r) =-2x(1+x^2)^2,
fyy(x,y)=ddyl(11+y^2r) =-2y(1+y^2)^2,
fxy(x,y) =partialpartial yl(11+x^2r) =0

Resposta

fxx(x,y)=-2x(1+x^2)^2, fxy(x,y)=0, fyy(x,y)=-2y(1+y^2)^2

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