Determine as derivadas parciais de segunda ordem (
e
).
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de segunda ordem
,
e
da função
O conteúdo principal aqui é aplicação da regra da cadeia (para funções compostas) e da regra do produto (quando duas funções dependem da variável de diferenciação).
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a
. Definimos
de modo que
. Pela regra da cadeia,
Portanto,
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial em relação a
. Ainda com
, temos
. Logo,
Passo 4
Para obter
, diferencie
em relação a
. Aqui
é constante e aplicamos regra da cadeia em
:
Passo 5
Para
, diferenciamos
em relação a
. Usamos regra do produto para
Temos
e
. Então
Passo 6
Finalmente, para
, diferenciamos
em relação a
, aplicando regra do produto a
Temos
e
. Assim,