Determine as derivadas parciais de segunda ordem ( fx x, fx y e fy y ).
f(x, y)=e^x e^y

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de segunda ordem fxx, fxy e fyy da função
f(x,y)=e^x e^y
O conteúdo principal aqui é aplicação da regra da cadeia (para funções compostas) e da regra do produto (quando duas funções dependem da variável de diferenciação).

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada parcial em relação a x. Definimos
u(x,y)=x e^y,
de modo que f(x,y)=e^u. Pela regra da cadeia,
fx=partial fpartial u,partial upartial x =e^ucdot e^y =e^x e^y,e^y
Portanto,
fx=e^x e^y,e^y

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial em relação a y. Ainda com u=x e^y, temos partial u/partial y = x e^y. Logo,
fy =partial fpartial u,partial upartial y =e^ucdot (x e^y) =e^x e^y,x e^y

Passo 4

Para obter fxx, diferencie fx=e^x e^y,e^y em relação a x. Aqui e^y é constante e aplicamos regra da cadeia em e^x e^y:
fxx =e^y,partialpartial xl(e^x e^yr) =e^y,l(e^x e^ycdot e^yr) =e^x e^y,e^2y

Passo 5

Para fxy, diferenciamos fx=e^x e^y,e^y em relação a y. Usamos regra do produto para
g(y)=e^x e^y, h(y)=e^y
Temos g' = e^x e^ycdot x e^y e h'=e^y. Então
fxy = g',h + g,h' = l(e^x e^y,x e^yr),e^y + e^x e^y,e^y = e^x e^y,e^y,l(x e^y+1r)

Passo 6

Finalmente, para fyy, diferenciamos fy=e^x e^y,x e^y em relação a y, aplicando regra do produto a
g(y)=e^x e^y, h(y)=x e^y
Temos g' = e^x e^y,x e^y e h' = x e^y. Assim,
fyy = g',h + g,h' = l(e^x e^y,x e^yr),(x e^y) + e^x e^y,(x e^y) = e^x e^y,x e^y,l(x e^y+1r)

Resposta

fxx=e^x e^y,e^2y
fxy=e^x e^y,e^y,l(1+x e^yr)
fyy=e^x e^y,x e^y,l(1+x e^yr)

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