Questão 3: Considere a função f(x, y) = (x - 2)² + (y - 1)² + 1.
d) O que se pode afirmar sobre o limite a continuidade dessa função quando (x, y) → (x0, y0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que a questão está pedindo é para a gente falar sobre o limite e a continuidade dessa função quando o ponto se aproxima de . Ou seja, queremos entender como a função se comporta perto de qualquer ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela nesse ponto existe e é igual ao valor da função nesse ponto. Em outras palavras:
Então, para a função ser contínua em , essa igualdade precisa ser verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa função é uma combinação de termos quadráticos e uma constante. Sabemos que funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio, que nesse caso, é todo o plano .

Passo 4

Como a função é contínua em qualquer ponto , o limite quando se aproxima de é simplesmente o valor da própria funç��o naquele ponto. Ou seja:

Resposta

A função é contínua em todo ponto do plano, e o limite quando se aproxima de é igual a .

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