Exercício 1. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{4} \sin \left(\frac{1}{x+|y|}\right);

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=x^{4}\,\sin\!\Bigl(\frac{1}{x+|y|}\Bigr)
quando (x,y)\to(0,0).
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) para mostrar que o valor tende a zero.

Passo 2

Observamos que, para todo real t, vale
-1 \le \sin(t) \le 1.
Logo, substituindo t=\frac{1}{x+|y|}, temos
-1 \le \sin\!\Bigl(\tfrac{1}{x+|y|}\Bigr) \le 1.
Multiplicando por x^{4} (que é não negativo quando elevado ao quarto) obtemos
-\,x^{4} \;\le\; x^{4}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{1}{x+|y|}\Bigr)\;\le\; x^{4}.

Passo 3

Agora usamos que, conforme (x,y)\to(0,0), em particular x\to0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{4} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)} -\,x^{4} = 0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como
-\,x^{4} \;\le\; f(x,y)\;\le\; x^{4}
e ambos os limites das “bordas” são zero, segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} x^{4}\,\sin\!\Bigl(\tfrac{1}{x+|y|}\Bigr) = 0.

Resposta

0

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