Função de produção Cobb-Douglas
.
a) Calcule o produto marginal do capital.
b) Calcule o produto marginal do trabalho.
c) Interprete os resultados.
a) Calcule o produto marginal do capital.
b) Calcule o produto marginal do trabalho.
c) Interprete os resultados.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de produção Cobb–Douglas
e pede o produto marginal do capital e do trabalho. Vamos usar derivadas parciais (regra de potência) para obter cada produto marginal.
Passo 2
Para calcular o produto marginal do capital, tomamos a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante. Pela regra de potência:
Passo 3
Para calcular o produto marginal do trabalho, tomamos a derivada parcial de
em relação a
, tratando
como constante. Pela regra de potência:
Passo 4
Interpretamos os resultados:
O produto marginal do capital indica quanto a produção aumenta ao acrescentar uma unidade de
mantendo
fixo, e como ele depende de
ele decresce quando
cresce (retornos marginais decrescentes). Analogamente,
decresce com
(retornos marginais decrescentes do trabalho). Os coeficientes
e
são também as elasticidades de
em relação a
e
e, somando-se a
, denotam retornos constantes de escala.
O produto marginal do capital
Resposta
(a)
(b)
(c) Cada produto marginal é positivo e decrescente conforme o respectivo fator aumenta (retornos marginais decrescentes); os expoentes e
são as elasticidades de
em relação a
e
, e somam
, indicando retornos constantes de escala.
(b)
(c) Cada produto marginal é positivo e decrescente conforme o respectivo fator aumenta (retornos marginais decrescentes); os expoentes