Determine as derivadas parciais.
z=x y e^{x y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
z = x\,y\,e^{x y}.
O conteúdo usado será a regra do produto (para funções de várias variáveis) e a regra da cadeia (para derivar e^{x y}).

Passo 2

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, note que podemos encarar
z = x \cdot h(x,y), \quad\text{onde}\quad h(x,y) = y\,e^{x y}.
Pela regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial (x)}{\partial x}\,h(x,y) + x\,\frac{\partial h(x,y)}{\partial x}.
Aqui \displaystyle \frac{\partial (x)}{\partial x}=1.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}. Como y é tratado como constante,
\frac{\partial h}{\partial x} = y \,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x y}\bigr) = y \,e^{x y}\,\frac{\partial (x y)}{\partial x} = y \,e^{x y}\cdot y = y^2 e^{x y}.
Substituindo em \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x} = 1\cdot (y\,e^{x y}) + x\cdot (y^2 e^{x y}) = y\,e^{x y} + x\,y^2\,e^{x y}.

Passo 4

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, encare
z = y \cdot g(x,y), \quad\text{onde}\quad g(x,y) = x\,e^{x y}.
Então, pela regra do produto:
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial (y)}{\partial y}\,g(x,y) + y\,\frac{\partial g(x,y)}{\partial y} = 1\cdot (x\,e^{x y}) + y\,\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}.

Passo 5

Calcule \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}. Como x é constante,
\frac{\partial g}{\partial y} = x\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{x y}\bigr) = x\,e^{x y}\,\frac{\partial(x y)}{\partial y} = x\,e^{x y}\cdot x = x^2 e^{x y}.
Substituindo em \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y} = x\,e^{x y} + y\cdot (x^2 e^{x y}) = x\,e^{x y} + x^2\,y\,e^{x y}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = y\,e^{x y} + x\,y^2\,e^{x y}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = x\,e^{x y} + x^2\,y\,e^{x y}.

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