Determine as derivadas parciais.
o) z = x y e^(x^2 y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais da função . Isso significa que precisamos encontrar como muda quando alteramos apenas ou apenas . Para isso, vamos usar as regras de derivação parcial e a regra do produto, já que temos uma multiplicação de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que escrito matematicamente é . Para isso, tratamos como uma constante. Nossa função é um produto de e , então vamos aplicar a regra do produto:

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, derivamos em relação a :
Agora, derivamos em relação a . Aqui, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante. Novamente, temos um produto, então aplicamos a regra do produto:

Passo 6

Calculando cada parte:
E para derivar em relação a :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
Simplificando os termos:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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