Determine as derivadas parciais.
o)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais da função
. Isso significa que precisamos encontrar como
muda quando alteramos apenas
ou apenas
. Para isso, vamos usar as regras de derivação parcial e a regra do produto, já que temos uma multiplicação de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que escrito matematicamente é
. Para isso, tratamos
como uma constante. Nossa função é um produto de
e
, então vamos aplicar a regra do produto:
Passo 3
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
. Aqui, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante. Novamente, temos um produto, então aplicamos a regra do produto:
Passo 6
Calculando cada parte:
E para derivar
em relação a
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão:
Simplificando os termos:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e