Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados: lim n infty 1n sen(n)
d) lim n infty cos (n)n

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a parte d) do exercício que pede para encontrar o limite da sequência lim n infty cos (n)n. A matéria que estamos usando aqui é de Limites de Sequências, especificamente lidando com funções trigonométricas e comportamento de funções quando cresce muito. Vamos precisar entender que a função cosseno oscila entre -1 e 1, e que o denominador tende para infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função -1 <= cos(n) <= 1 sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, para qualquer valor de , nunca vai ser maior que 1 nem menor que -1.

Passo 3

Agora, vamos dividir cada parte dessa desigualdade por -1n <= cos(n)n <= 1n , que é positivo e está crescendo sem parar:
Isso nos dá uma “faixa” onde está sempre dentro.

Passo 4

Sabemos que, quando limn to infty 1n = 0 e limn to infty -1n = 0 tende para infinito, e vão para 0, porque estamos dividindo 1 ou -1 por um número que fica cada vez maior. Então:

Passo 5

Como limn to infty cos(n)n = 0 está sempre entre e , e ambos os limites laterais são 0, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Ligações), podemos concluir que:

Resposta

O limite da sequência é 0.

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