Verifique se as seguintes sequências convergem calculando os limites dos termos gerais indicados:
d)
d)
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver a parte d) do exercício que pede para encontrar o limite da sequência
. A matéria que estamos usando aqui é de Limites de Sequências, especificamente lidando com funções trigonométricas e comportamento de funções quando
cresce muito. Vamos precisar entender que a função cosseno oscila entre -1 e 1, e que o denominador
tende para infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
sempre está entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, para qualquer valor de
,
nunca vai ser maior que 1 nem menor que -1.
Passo 3
Agora, vamos dividir cada parte dessa desigualdade por
, que é positivo e está crescendo sem parar:
Isso nos dá uma “faixa” onde
está sempre dentro.
Passo 4
Sabemos que, quando
tende para infinito,
e
vão para 0, porque estamos dividindo 1 ou -1 por um número que fica cada vez maior. Então:
Passo 5
Como
está sempre entre
e
, e ambos os limites laterais são 0, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Ligações), podemos concluir que:
Resposta
O limite da sequência é 0.