Determine todos os pontos em que a função é contínua.
e) h(x, y)=lllx^2 yx^4+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar todos os pontos onde a função é contínua. Estamos lidando com continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e analisar a função dada para ver onde ela atende a essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função lim(x, y) to (a, b) h(x, y) = h(a, b) é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para verificar a continuidade da função em todos os pontos, precisamos analisar onde essa condição é satisfeita.

Passo 3

Vamos começar observando a definição da função h(x, y) = x^2 yx^4 + y^2 & se (x, y) neq (0, 0) 0 & se (x, y) = (0, 0) :
Para todos os pontos diferentes de , a função é definida por uma fração que envolve polinômios. Como o denominador nunca é zero exceto em , a função é contínua em todos esses pontos por ser uma razão de polinômios contínuos.

Passo 4

O único ponto que precisamos analisar com cuidado é h(r, theta) = (r cos theta)^2 (r sin theta)(r cos theta)^4 + (r sin theta)^2 = r^3 cos^2 theta sin thetar^4 cos^4 theta + r^2 sin^2 theta . Para este ponto, a função é definida como zero. Vamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual a zero.
Para isso, podemos usar coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar h(r, theta) = r^3 cos^2 theta sin thetar^2 (r^2 cos^4 theta + sin^2 theta) = r cos^2 theta sin thetar^2 cos^4 theta + sin^2 theta do denominador:
Agora, analisamos o comportamento de quando tende a zero.

Passo 6

Observe que, no denominador, quando h(r, theta) approx r cos^2 theta sin thetasin^2 theta = r cos^2 theta cdot sin thetasin^2 theta = r cos^2 thetasin theta tende a zero, o termo também tende a zero, deixando . Portanto, podemos aproximar a expressão como:

Passo 7

Agora, vamos analisar o limite quando limr to 0 h(r, theta) = limr to 0 r cos^2 thetasin theta tende a zero:
Se , o limite será zero, já que está multiplicando algo que depende apenas de . Mas se , ou seja, ou , precisamos verificar.

Passo 8

Para h(r, 0) = r^3 cos^2 0 sin 0r^4 cos^4 0 + r^2 sin^2 0 = r^3 cdot 1 cdot 0r^4 cdot 1 + r^2 cdot 0 = 0 ou h(r, pi) = r^3 cos^2 pi sin pir^4 cos^4 pi + r^2 sin^2 pi = r^3 cdot 1 cdot 0r^4 cdot 1 + r^2 cdot 0 = 0 , temos . Vamos analisar o limite ao longo dessas direções:
  • Quando :
  • Quando :
Em ambos os casos, o limite é zero.

Passo 9

Portanto, para todas as direções, o limite de quando se aproxima de é zero, que é igual ao valor da função em . Isso significa que a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano .

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