Determine todos os pontos em que a função é contínua.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para determinar todos os pontos onde a função
é contínua. Estamos lidando com continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e analisar a função dada para ver onde ela atende a essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite da função quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Então, para verificar a continuidade da função
em todos os pontos, precisamos analisar onde essa condição é satisfeita.
Passo 3
Vamos começar observando a definição da função
:
Para todos os pontos
diferentes de
, a função é definida por uma fração que envolve polinômios. Como o denominador
nunca é zero exceto em
, a função é contínua em todos esses pontos por ser uma razão de polinômios contínuos.
Passo 4
O único ponto que precisamos analisar com cuidado é
. Para este ponto, a função é definida como zero. Vamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a zero.
Para isso, podemos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar
do denominador:
Agora, analisamos o comportamento de
quando
tende a zero.
Passo 6
Observe que, no denominador, quando
tende a zero, o termo
também tende a zero, deixando
. Portanto, podemos aproximar a expressão como:
Passo 7
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a zero:
Se
, o limite será zero, já que
está multiplicando algo que depende apenas de
. Mas se
, ou seja,
ou
, precisamos verificar.
Passo 8
Para
ou
, temos
. Vamos analisar o limite ao longo dessas direções:
- Quando
:
- Quando
:
Em ambos os casos, o limite é zero.
Passo 9
Portanto, para todas as direções, o limite de
quando
se aproxima de
é zero, que é igual ao valor da função em
. Isso significa que a função é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
.