Determine as derivadas que se pede em cada item;
f) f(t)=t cos (t), f^prime prime prime(0);

Passo 1

O enunciado pede a terceira derivada de f(t)=tcos t avaliada em t=0, ou seja, f'''(0). Para isso vamos usar a regra do produto e as derivadas de cos t e sin t.

Passo 2

Aplicando a regra do produto para obter f'(t):
f'(t)=ddt(t),cos t + t,ddt(cos t) =1cdotcos t + tcdot(-sin t) =cos t - tsin t

Passo 3

Derivando novamente para achar f''(t):
f''(t)=ddt(cos t) - ddt(tsin t) =-sin t - (sin t + tcos t) =-2sin t - tcos t

Passo 4

Derivando pela terceira vez para obter f'''(t):
f'''(t)=ddt(-2sin t) - ddt(tcos t) =-2cos t - (cos t - tsin t) =-3cos t + tsin t

Passo 5

Agora avaliamos em t=0:
f'''(0)=-3cos0 + 0cdotsin0=-3cdot1+0=-3

Resposta

-3

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