Determine as derivadas das seguintes funções:
\operatorname{cossec}(x)=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \operatorname{cossec}(x), definida por
\operatorname{cossec}(x)=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}.
O conteúdo necessário é a regra da derivada de uma função recíproca e a derivada de \operatorname{sen}(x).

Passo 2

Seja u(x)=\operatorname{sen}(x). Sabemos que
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{1}{u(x)}\Bigr) =-\frac{u'(x)}{[u(x)]^{2}} \quad\text{e}\quad u'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).
Logo,
\frac{d}{dx}\operatorname{cossec}(x) =\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{1}{u(x)}\Bigr) =-\frac{\cos(x)}{\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)^{2}}.
Notando que \cot(x)=\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)} e \operatorname{cossec}(x)=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}, temos
-\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)} =-\operatorname{cossec}(x)\,\cot(x).

Resposta

\frac{d}{dx}\operatorname{cossec}(x) =-\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)} =-\operatorname{cossec}(x)\,\cot(x).

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