Determine as derivadas das seguintes funções:
\frac{2 \ln (x)+3 e^{x-1}}{5 x+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=\frac{2\ln(x)+3e^{x-1}}{5x+1}
e pede sua derivada f'(x). O conteúdo é derivada de quociente, então vamos usar a regra do quociente.

Passo 2

Derivamos o numerador g(x)=2\ln(x)+3e^{x-1}. Usando que \frac{d}{dx}\ln(x)=1/x e \frac{d}{dx}e^{x-1}=e^{x-1}, obtemos
g'(x)=\frac{2}{x}+3e^{x-1}.

Passo 3

Derivamos o denominador h(x)=5x+1. Como é uma reta, temos
h'(x)=5.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^2} =\frac{\bigl(\frac{2}{x}+3e^{x-1}\bigr)(5x+1)-(2\ln(x)+3e^{x-1})\cdot5}{(5x+1)^2}.

Passo 5

Expandindo o numerador:
\bigl(\tfrac{2}{x}\bigr)(5x+1)=10+\tfrac{2}{x},\quad 3e^{x-1}(5x+1)=15xe^{x-1}+3e^{x-1},\quad 5(2\ln(x)+3e^{x-1})=10\ln(x)+15e^{x-1}.
Logo o numerador fica
10+\tfrac{2}{x}+15xe^{x-1}+3e^{x-1}-10\ln(x)-15e^{x-1} =10+\tfrac{2}{x}-10\ln(x)+(15x-12)e^{x-1}.

Resposta

f'(x)=\frac{10+\frac{2}{x}-10\ln(x)+(15x-12)e^{x-1}}{(5x+1)^2}.

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