Determine as derivadas das seguintes funções:
\operatorname{sen}(x) e^{\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sin(x)\,e^{\cos(x)}.
Para isso vamos usar a regra do produto e, dentro dela, a regra da cadeia para a parte exponencial.

Passo 2

Pela regra do produto,
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\sin(x)\bigr]\cdot e^{\cos(x)} +\sin(x)\cdot \frac{d}{dx}\bigl[e^{\cos(x)}\bigr].

Passo 3

Calculando cada termo:
- \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl[\sin(x)\bigr]=\cos(x).
- Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl[e^{\cos(x)}\bigr] =e^{\cos(x)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\cos(x)\bigr] =e^{\cos(x)}\cdot(-\sin(x)).

Passo 4

Substituindo as derivadas no produto:
f'(x) =\cos(x)\,e^{\cos(x)} +\sin(x)\,\bigl(e^{\cos(x)}\cdot(-\sin(x))\bigr) =e^{\cos(x)}\bigl(\cos(x)-\sin^2(x)\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{\cos(x)}\bigl(\cos(x)-\sin^2(x)\bigr).

Exercícios relacionados