Determine as derivadas das seguintes funções:
\frac{x^{2}-2 x-1}{(x-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{x^{2}-2x-1}{(x-1)^{2}}.
O conteúdo usado será a regra do quociente, que diz que, se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 2

Identificamos
u(x)=x^{2}-2x-1, \quad v(x)=(x-1)^{2}.
Calculamos as derivadas de u e de v:
u'(x)=2x-2, \quad v'(x)=2(x-1).

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(2x-2)(x-1)^{2}-(x^{2}-2x-1)\,2(x-1)}{(x-1)^{4}}.

Passo 4

No numerador, note que 2x-2=2(x-1), então
(2x-2)(x-1)^{2}=2(x-1)^{3}, \quad (x^{2}-2x-1)\,2(x-1)=2(x-1)(x^{2}-2x-1).
Assim o numerador fica
2(x-1)^{3}-2(x-1)(x^{2}-2x-1) =2(x-1)\bigl[(x-1)^{2}-(x^{2}-2x-1)\bigr].
E
(x-1)^{2}-(x^{2}-2x-1) =(x^{2}-2x+1)-(x^{2}-2x-1)=2,
logo o numerador é 2(x-1)\cdot2=4(x-1).

Passo 5

Substituindo no quociente:
f'(x) =\frac{4(x-1)}{(x-1)^{4}} =\frac{4}{(x-1)^{3}},
válido para x\neq1.

Resposta

f'(x)=\frac{4}{(x-1)^{3}}.

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