Determine as derivadas das seguintes funções:
\operatorname{cotg}(x)=\frac{\cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \operatorname{cotg}(x)=\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}. Vamos usar a regra do quociente, que diz que, para
h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},
temos
\frac{d}{dx}h(x)=\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^{2}}.
Também precisamos das derivadas de \cos(x) e \operatorname{sen}(x).

Passo 2

Identificando f(x)=\cos(x) e g(x)=\operatorname{sen}(x), temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x), \qquad g'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).
Aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\operatorname{cotg}(x) =\frac{-\operatorname{sen}(x)\cdot\operatorname{sen}(x)-\cos(x)\cdot\cos(x)}{\operatorname{sen}^2(x)} =\frac{-[\operatorname{sen}^2(x)+\cos^2(x)]}{\operatorname{sen}^2(x)} =-\frac{1}{\operatorname{sen}^2(x)}.
Como \csc(x)=1/\operatorname{sen}(x), concluímos que
\frac{d}{dx}\operatorname{cotg}(x)=-\csc^2(x).

Resposta

\frac{d}{dx}\operatorname{cotg}(x)=-\csc^2(x).

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