Determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
4.
\begin{array}{r} f(x)=\frac{x^{3}-2 x^{2}}{3 x-8} \\\ f(x)=\frac{4-x}{5-x^{2}} \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de duas funções que são quocientes de polinômios. O conteúdo central aqui é a regra do quociente, que diz: se u(x) e v(x) são diferenciáveis e v(x)\neq0, então
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.
Vamos aplicar isso a cada caso.

Passo 2

Para a função
f(x)=\frac{x^{3}-2x^{2}}{3x-8},
definimos
u(x)=x^{3}-2x^{2},\quad v(x)=3x-8.
As derivadas são
u'(x)=3x^{2}-4x,\quad v'(x)=3.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = \frac{(3x^{2}-4x)(3x-8)\;-\;(x^{3}-2x^{2})\cdot3}{(3x-8)^{2}}.
Vamos simplificar o numerador:
(3x^{2}-4x)(3x-8)=9x^{3}-24x^{2}-12x^{2}+32x=9x^{3}-36x^{2}+32x,
então
9x^{3}-36x^{2}+32x \;-\;3x^{3}+6x^{2} =6x^{3}-30x^{2}+32x.
Logo
f'(x)=\frac{6x^{3}-30x^{2}+32x}{(3x-8)^{2}} =\frac{2x\,(3x^{2}-15x+16)}{(3x-8)^{2}}.

Passo 4

Agora para
f(x)=\frac{4-x}{5-x^{2}},
definimos
u(x)=4-x,\quad v(x)=5-x^{2}.
As derivadas são
u'(x)=-1,\quad v'(x)=-2x.

Passo 5

De novo pela regra do quociente:
f'(x) =\frac{(-1)(5-x^{2})-(4-x)(-2x)}{(5-x^{2})^{2}} =\frac{-5+x^{2}+2x(4-x)}{(5-x^{2})^{2}}.
Calculando o numerador:
-5 + x^{2} +8x -2x^{2} =-5+8x - x^{2}.
Portanto
f'(x)=\frac{-x^{2}+8x-5}{(5-x^{2})^{2}}.

Resposta

Para \displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-2x^{2}}{3x-8} temos
f'(x)=\frac{6x^{3}-30x^{2}+32x}{(3x-8)^{2}} =\frac{2x\,(3x^{2}-15x+16)}{(3x-8)^{2}}.
Para \displaystyle f(x)=\frac{4-x}{5-x^{2}} fica
f'(x)=\frac{-x^{2}+8x-5}{(5-x^{2})^{2}}.

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