Exercício 3: Calcule as integrais.
\int \frac{2 x^{2}+12 x-12}{-3 x^{3}+6 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x^{2} + 12x - 12}{-3x^{3} + 6x^{2}}\,dx
Aqui vamos usar o método de frações parciais para funções racionais: primeiro fatoramos o denominador, depois escrevemos uma decomposição em termos simples e finalmente integramos termo a termo.

Passo 2

Fatoramos o denominador e simplificamos a constante fora da fração:
-3x^{3} + 6x^{2} = -3x^{2}(x - 2),
então
\frac{2x^{2} + 12x - 12}{-3x^{3} + 6x^{2}} = -\frac{2}{3}\,\frac{x^{2} + 6x - 6}{x^{2}(x - 2)}.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais para
\frac{x^{2} + 6x - 6}{x^{2}(x - 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x - 2}.
Multiplicando por x^{2}(x-2) obtemos a identidade
x^{2} + 6x - 6 = A\,x(x-2) + B\,(x-2) + C\,x^{2}.
Expandindo e igualando coeficientes de x^{2}, x e constante, achamos
A + C = 1,\quad -2A + B = 6,\quad -2B = -6
que dá B=3, A=-\tfrac32 e C=\tfrac52.

Passo 4

Substituindo na fração original:
\frac{2x^{2} + 12x - 12}{-3x^{3} + 6x^{2}} = -\frac{2}{3}\Bigl(\frac{-\tfrac32}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{\tfrac52}{x-2}\Bigr) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{5}{3}\,\frac{1}{x-2}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int\Bigl(\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{5}{3}\,\frac{1}{x-2}\Bigr)dx = \ln\lvert x\rvert + \frac{2}{x} - \frac{5}{3}\,\ln\lvert x-2\rvert + C.

Resposta

\int \frac{2x^{2} + 12x - 12}{-3x^{3} + 6x^{2}}\,dx = \ln\lvert x\rvert + \frac{2}{x} - \frac{5}{3}\,\ln\lvert x-2\rvert + C.

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