Exercício 3: Calcule as integrais.
\int_{0}^{\pi / 4}-12 \operatorname{tg}^{3} y \operatorname{sec} ^{4} y d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4} -12 \tan^3 y \operatorname{sec}^4 y \, dy.
O conteúdo aqui é integrar uma função trigonométrica por substituição, aproveitando que a derivada de \tan y envolve \operatorname{sec}^2 y.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \tan y, \quad du = \operatorname{sec}^2 y \, dy.
Queremos reescrever todo o integrando em termos de u e du.

Passo 3

Observamos que
\operatorname{sec}^4 y = \operatorname{sec}^2 y \cdot \operatorname{sec}^2 y,
então
-12 \tan^3 y \operatorname{sec}^4 y \, dy = -12 \tan^3 y \operatorname{sec}^2 y \,\bigl(\operatorname{sec}^2 y\,dy\bigr).
Com \tan y = u, \operatorname{sec}^2 y\,dy = du e \operatorname{sec}^2 y = 1+\tan^2 y = 1+u^2, vem
-12 \tan^3 y \operatorname{sec}^4 y \, dy = -12\,u^3(1+u^2)\,du.

Passo 4

Integramos o polinômio em u:
-12 \int u^3(1+u^2)\,du = -12 \int (u^3 + u^5)\,du = -12\Bigl(\frac{u^4}{4} + \frac{u^6}{6}\Bigr) = -3u^4 -2u^6 + C.
Uma primitiva em função de y é
F(y) = -3\tan^4 y -2\tan^6 y.

Passo 5

Avaliaremos entre y=0 e y=\pi/4:
F(\pi/4) - F(0) = \bigl[-3\cdot1^4 -2\cdot1^6\bigr] - \bigl[-3\cdot0^4 -2\cdot0^6\bigr] = -3 -2 = -5.

Resposta

-5

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