Determine as derivadas das seguintes funções
y=\frac{2 x+5}{3 x-2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
y=\frac{2x+5}{3x-2}.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é uma razão entre duas expressões lineares: numerador 2x+5 e denominador 3x-2.
  • O denominador anula-se em x=\tfrac{2}{3}, portanto a função (e sua derivada) não estão definidas em x=\tfrac{2}{3}.
  • A tarefa é encontrar y', a derivada de y em função de x (para x\neq\tfrac{2}{3}).

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicadinhos):
  • Derivada de uma função é a taxa de variação instantânea; aqui não precisamos da definição limite passo a passo, basta usar regras prontas.
  • Regra simples: a derivada de uma função linear ax+b em relação a x é a constante a. Ex.: a derivada de 2x+5 é 2; por quê? Porque a inclinação da reta ax+b é a e a derivada mede essa inclinação.
  • Para a derivação de uma razão u(x)/v(x) vamos usar a regra do quociente. A fórmula (que vou explicar) é:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u'=du/dx e v'=dv/dx. A ideia por trás: combina as taxas de variação do numerador e do denominador de forma que o resultado seja uma única função.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente ao nosso caso: identificamos
u(x)=2x+5,\qquad v(x)=3x-2.
Agora calculamos as derivadas simples de cada um (usando que a derivada de ax+b é a):
u'(x)=2,\qquad v'(x)=3.

Passo 4

Agora montamos a expressão que aparece no numerador da regra do quociente:
u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x).
Substituindo u',u,v,v' obtemos (vou expandir passo a passo):
u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)=2\,(3x-2)-(2x+5)\,3.
Calculemos cada termo:
2\,(3x-2)=6x-4,
(2x+5)\,3=6x+15.
Subtraindo:
6x-4-(6x+15)=(6x-4-6x-15)= -19.
Portanto o numerador da regra do quociente é a constante -19.

Passo 5

O denominador da regra do quociente é v(x)^2, que aqui vale
v(x)^2=(3x-2)^2.
Temos então as duas peças necessárias: numerador -19 e denominador (3x-2)^2. Com esses componentes prontos, formamos a derivada segundo a regra do quociente (a montagem final está na seção de resposta).

Passo 6

Verificação alternativa (útil para aprender): reescrever y como produto e usar produto+cadeia.
y=(2x+5)\,(3x-2)^{-1}.
Usando a regra do produto (fg)'=f'g+fg' com f=2x+5 e g=(3x-2)^{-1}:
  • f'=2.
  • Para g usamos a regra da cadeia: \big((3x-2)^{-1}\big)'=-1\cdot(3x-2)^{-2}\cdot(3)=-\dfrac{3}{(3x-2)^2}.
    Aplicando produto:
y'=2\cdot(3x-2)^{-1}+(2x+5)\cdot\Big(-\frac{3}{(3x-2)^2}\Big).
Colocando sobre o mesmo denominador (3x-2)^2 e simplificando obtém-se novamente o numerador -19 sobre (3x-2)^2, confirmando o cálculo anterior.

Resposta

y'=-\frac{19}{(3x-2)^2}

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