Determine as derivadas das seguintes funções
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função é uma razão entre duas expressões lineares: numerador
e denominador . - O denominador anula-se em
, portanto a função (e sua derivada) não estão definidas em . - A tarefa é encontrar
, a derivada de em função de (para ).
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicadinhos):
- Derivada de uma função é a taxa de variação instantânea; aqui não precisamos da definição limite passo a passo, basta usar regras prontas.
- Regra simples: a derivada de uma função linear
em relação a é a constante . Ex.: a derivada de é ; por quê? Porque a inclinação da reta é e a derivada mede essa inclinação. - Para a derivação de uma razão
vamos usar a regra do quociente. A fórmula (que vou explicar) é:
Aqui
e
. A ideia por trás: combina as taxas de variação do numerador e do denominador de forma que o resultado seja uma única função.
Passo 3
Aplicando a regra do quociente ao nosso caso: identificamos
Agora calculamos as derivadas simples de cada um (usando que a derivada de
é
):
Passo 4
Agora montamos a expressão que aparece no numerador da regra do quociente:
Substituindo
obtemos (vou expandir passo a passo):
Calculemos cada termo:
Subtraindo:
Portanto o numerador da regra do quociente é a constante
.
Passo 5
O denominador da regra do quociente é
, que aqui vale
Temos então as duas peças necessárias: numerador
e denominador
. Com esses componentes prontos, formamos a derivada segundo a regra do quociente (a montagem final está na seção de resposta).
Passo 6
Verificação alternativa (útil para aprender): reescrever
como produto e usar produto+cadeia.
Usando a regra do produto
com
e
:
-
. - Para
usamos a regra da cadeia: .
Aplicando produto:
Colocando sobre o mesmo denominador
e simplificando obtém-se novamente o numerador
sobre
, confirmando o cálculo anterior.