Determine as derivadas das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas importantes:
e devemos lembrar que
, portanto a expressão só faz sentido para
. A tarefa é calcular
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Escolha do método: aqui temos um produto de duas funções
e
. O método natural é a regra do produto porque ela é direta e evita expandir logo de cara; depois podemos simplificar. Vou usar a regra do produto e as regras básicas de derivação (regra da soma, regra do poder e derivada de constante).
Regra do produto (fórmula):
Explicando:
e
são funções de
.
é a derivada de
e
é a derivada de
. A derivada do produto é a soma de cada função vezes a derivada da outra.
Regra do poder (para referência):
onde
é qualquer número real. A derivada de uma constante é zero.
Passo 3
Identificar
e
e calcular suas derivadas.
Defina
Derivando
usando a regra do poder:
Derivando
:
,
, e usando a regra do poder para
:
Portanto
Passo 4
Aplicar a regra do produto:
Passo 5
Simplificar o primeiro termo
distribuindo
:
Logo
Passo 6
Simplificar o segundo termo
. Primeiro distribuir:
Somando as partes:
Repare que
e
se cancelam.
Passo 7
Somar os dois resultados obtidos:
Agrupando termos semelhantes:
Podemos também escrever
como
se preferir:
Passo 8
Checagem alternativa (opcional): se expandíssemos primeiro
(Não é necessário aqui — já fizemos pela regra do produto. A checagem mostra que o resultado simplificado acima está consistente com derivar termo a termo após expansão.)