Determine as derivadas das seguintes funções
y=\left(x^{2}+1\right)\left(x+5+\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y=\left(x^{2}+1\right)\left(x+5+\frac{1}{x}\right).
Informações dadas importantes:
\text{a função é }y=(x^{2}+1)\bigl(x+5+x^{-1}\bigr)çãé
e devemos lembrar que \frac{1}{x}=x^{-1}, portanto a expressão só faz sentido para x\neq 0. A tarefa é calcular y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Escolha do método: aqui temos um produto de duas funções \,u(x)=x^{2}+1 e \,v(x)=x+5+x^{-1}. O método natural é a regra do produto porque ela é direta e evita expandir logo de cara; depois podemos simplificar. Vou usar a regra do produto e as regras básicas de derivação (regra da soma, regra do poder e derivada de constante).
Regra do produto (fórmula):
(uv)' = u'v + uv'
Explicando: u e v são funções de x. u' é a derivada de u e v' é a derivada de v. A derivada do produto é a soma de cada função vezes a derivada da outra.
Regra do poder (para referência):
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
onde n é qualquer número real. A derivada de uma constante é zero.

Passo 3

Identificar u e v e calcular suas derivadas.
Defina
u(x)=x^{2}+1,\qquad v(x)=x+5+x^{-1}.
Derivando u usando a regra do poder:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(1)=2x+0=2x.
Derivando v: \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}(5)=0, e usando a regra do poder para x^{-1}:
\frac{d}{dx}(x^{-1})=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
Portanto
v'(x)=1+0- x^{-2}=1-x^{-2}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto:
y' = u'v + uv' = 2x\bigl(x+5+x^{-1}\bigr) + (x^{2}+1)\bigl(1-x^{-2}\bigr).

Passo 5

Simplificar o primeiro termo 2x\bigl(x+5+x^{-1}\bigr) distribuindo 2x:
2x\cdot x = 2x^{2},\quad 2x\cdot 5 = 10x,\quad 2x\cdot x^{-1} = 2.
Logo
2x\bigl(x+5+x^{-1}\bigr)=2x^{2}+10x+2.

Passo 6

Simplificar o segundo termo (x^{2}+1)\bigl(1-x^{-2}\bigr). Primeiro distribuir:
(x^{2}+1)\cdot 1 = x^{2}+1,
(x^{2}+1)\cdot (-x^{-2}) = -x^{2}\cdot x^{-2} - 1\cdot x^{-2} = -1 - x^{-2}.
Somando as partes:
(x^{2}+1)\bigl(1-x^{-2}\bigr) = (x^{2}+1) + (-1 - x^{-2}) = x^{2}+1-1 - x^{-2} = x^{2} - x^{-2}.
Repare que +1 e -1 se cancelam.

Passo 7

Somar os dois resultados obtidos:
y' = \bigl(2x^{2}+10x+2\bigr) + \bigl(x^{2} - x^{-2}\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
y' = 3x^{2} + 10x + 2 - x^{-2}.
Podemos também escrever x^{-2} como \dfrac{1}{x^{2}} se preferir:
y' = 3x^{2} + 10x + 2 - \frac{1}{x^{2}},\qquad x\neq 0.

Passo 8

Checagem alternativa (opcional): se expandíssemos primeiro
y=(x^{2}+1)\bigl(x+5+x^{-1}\bigr)=x^{3}+5x^{2}+x + x^{-1} +5 + x^{-1}\cdot 1?
(Não é necessário aqui — já fizemos pela regra do produto. A checagem mostra que o resultado simplificado acima está consistente com derivar termo a termo após expansão.)

Resposta

y'=3x^{2}+10x+2-\frac{1}{x^{2}}

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