Determine as derivadas das seguintes funções
y=x^{3} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine as derivadas da função
y = x^{3} e^{x}.
Informações dadas: a função é o produto de duas partes — um polinômio x^{3} e a exponencial e^{x}. Não há outras condições nem pontos específicos; a tarefa é achar as derivadas (vou calcular a primeira derivada e, como complemento útil para prova, também a segunda).

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do produto.
Se tivermos duas funções u(x) e v(x) e y=u(x)v(x), então a derivada é dada por
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Explicando de leve: derivar um produto é derivar a primeira mantendo a segunda, mais manter a primeira e derivar a segunda. Isso vem direto do limite que define derivada, mas na prática é só decorar essa forma e aplicar com cuidado.

Passo 3

Identificamos as duas partes do produto:
u(x)=x^{3},\qquad v(x)=e^{x}.
Agora usamos regras básicas de derivação para cada uma:
  • Regra do poder (power rule): para u(x)=x^{n} temos u'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=3,
u'(x)=3x^{2}.
  • Derivada da exponencial: para v(x)=e^{x} temos v'(x)=e^{x} (a derivada de e^{x} é ela mesma).

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 3x^{2}\,e^{x} + x^{3}\,e^{x}.
Agora fatoramos para simplificar e obter uma forma útil para a prova (fator comum e^{x} e x^{2}):
y' = e^{x}\bigl(3x^{2} + x^{3}\bigr) = x^{2} e^{x}(3 + x).
Essa é a primeira derivada, já numa forma bem enxuta que costuma facilitar avaliações e limites.

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada y'' (derivar y'). Partimos da forma y' = e^{x}\bigl(x^{3}+3x^{2}\bigr). Use novamente a regra do produto, com
w(x)=x^{3}+3x^{2}.
Temos
w'(x)=3x^{2}+6x.
Aplicando a regra do produto em y' = e^{x} w(x):
y'' = (e^{x})' w(x) + e^{x} w'(x) = e^{x} w(x) + e^{x} w'(x) = e^{x}\bigl(w(x)+w'(x)\bigr).
Substituindo w e w':
y'' = e^{x}\bigl(x^{3}+3x^{2} + 3x^{2}+6x\bigr) = e^{x}\bigl(x^{3}+6x^{2}+6x\bigr).
Também podemos escrever fatorando um x:
y'' = x\,e^{x}\bigl(x^{2}+6x+6\bigr).

Resposta

y' = x^{2} e^{x}(x+3)
y'' = e^{x}\bigl(x^{3}+6x^{2}+6x\bigr)

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