Determine as derivadas das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine as derivadas da função
Informações dadas: a função é o produto de duas partes — um polinômio
e a exponencial
. Não há outras condições nem pontos específicos; a tarefa é achar as derivadas (vou calcular a primeira derivada e, como complemento útil para prova, também a segunda).
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra do produto.
Se tivermos duas funções e
e
, então a derivada é dada por
Se tivermos duas funções
Explicando de leve: derivar um produto é derivar a primeira mantendo a segunda, mais manter a primeira e derivar a segunda. Isso vem direto do limite que define derivada, mas na prática é só decorar essa forma e aplicar com cuidado.
Passo 3
Identificamos as duas partes do produto:
Agora usamos regras básicas de derivação para cada uma:
- Regra do poder (power rule): para
temos . Aplicando com ,
- Derivada da exponencial: para
temos (a derivada de é ela mesma).
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Agora fatoramos para simplificar e obter uma forma útil para a prova (fator comum
e
):
Essa é a primeira derivada, já numa forma bem enxuta que costuma facilitar avaliações e limites.
Passo 5
Vamos calcular a segunda derivada
(derivar
). Partimos da forma
. Use novamente a regra do produto, com
Temos
Aplicando a regra do produto em
:
Substituindo
e
:
Também podemos escrever fatorando um
: