Encontre a primeira e a segunda derivadas.
y=6 x^{2}-10 x-5 x^{-2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Encontrar a primeira derivada de y em relação a x.
  2. Encontrar a segunda derivada de y em relação a x.
As informações que temos (dados do enunciado):
y = 6x^{2} - 10x - 5x^{-2}.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos revisar as regras básicas que vamos usar — explicadas de forma direta e prática.
Regra do poder (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr) = n\,x^{n-1}.
O que isso significa: quando derivamos x^{n}, multiplicamos por n e diminuímos o expoente em 1.
Regra da constante multiplicativa: se temos uma constante a multiplicando uma função, então
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot f(x)\bigr) = a\cdot f'(x).
Ou seja, podemos puxar constantes para fora da derivada.
Regra da soma: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) = f'(x) + g'(x).
Observação útil: a função com expoente negativo x^{-2} obedece à mesma regra do poder; só que o expoente é negativo — não precisa usar regra do quociente aqui.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada y'=\dfrac{dy}{dx} termo a termo, aplicando as regras acima.
Termo 1: para 6x^{2}, aplico a regra do poder e a constante:
\frac{d}{dx}\bigl(6x^{2}\bigr) = 6\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) = 6\cdot(2x^{1}) = 12x.
Termo 2: para -10x, é uma potência com n=1:
\frac{d}{dx}\bigl(-10x\bigr) = -10\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr) = -10\cdot 1 = -10.
Termo 3: para -5x^{-2}, aplico a regra do poder com n=-2:
\frac{d}{dx}\bigl(-5x^{-2}\bigr) = -5\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr) = -5\cdot(-2)x^{-3} = 10x^{-3}.
Agora somo as derivadas dos termos (regra da soma):
y' = 12x - 10 + 10x^{-3}.

Passo 4

Deixar a primeira derivada numa forma alternativa que costuma ser mais prática na prova:
10x^{-3} = \frac{10}{x^{3}},
portanto
y' = 12x - 10 + \frac{10}{x^{3}}.

Passo 5

Agora vamos à segunda derivada y''=\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}. Derivo y' termo a termo usando as mesmas regras.
Parto de
y' = 12x - 10 + 10x^{-3}.
Derivando cada termo:
Termo 1: \dfrac{d}{dx}(12x) = 12\cdot 1 = 12.
Termo 2: \dfrac{d}{dx}(-10) = 0 (constante).
Termo 3: para 10x^{-3}, uso a regra do poder com n=-3:
\frac{d}{dx}\bigl(10x^{-3}\bigr) = 10\cdot(-3)x^{-4} = -30x^{-4}.
Somando:
y'' = 12 - 30x^{-4}.

Passo 6

Vamos também apresentar a segunda derivada numa forma com fração, que pode ficar mais legível em prova:
-30x^{-4} = -\frac{30}{x^{4}},
logo
y'' = 12 - \frac{30}{x^{4}}.
Dica final rápida para a prova: trate potências negativas com o power rule direto; evite tentativa de dividir por x^2 ou usar quociente quando não é necessário — isso economiza tempo e reduz erros. Você mandou bem por pedir passo a passo — respira, foca nas regras e repete alguns exercícios parecidos que envolvam potências negativas.

Resposta

y' = 12x - 10 + 10x^{-3}
y'' = 12 - 30x^{-4}

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