Encontre a primeira e a segunda derivadas.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Encontrar a primeira derivada de
em relação a . - Encontrar a segunda derivada de
em relação a .
As informações que temos (dados do enunciado):
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos revisar as regras básicas que vamos usar — explicadas de forma direta e prática.
Regra do poder (power rule): para qualquer número real
,
O que isso significa: quando derivamos
, multiplicamos por
e diminuímos o expoente em 1.
Regra da constante multiplicativa: se temos uma constante
multiplicando uma função, então
Ou seja, podemos puxar constantes para fora da derivada.
Regra da soma: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas:
Observação útil: a função com expoente negativo
obedece à mesma regra do poder; só que o expoente é negativo — não precisa usar regra do quociente aqui.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada
termo a termo, aplicando as regras acima.
Termo 1: para
, aplico a regra do poder e a constante:
Termo 2: para
, é uma potência com
:
Termo 3: para
, aplico a regra do poder com
:
Agora somo as derivadas dos termos (regra da soma):
Passo 4
Deixar a primeira derivada numa forma alternativa que costuma ser mais prática na prova:
portanto
Passo 5
Agora vamos à segunda derivada
. Derivo
termo a termo usando as mesmas regras.
Parto de
Derivando cada termo:
Termo 1:
Termo 2:
(constante).
Termo 3: para
, uso a regra do poder com
:
Somando:
Passo 6
Vamos também apresentar a segunda derivada numa forma com fração, que pode ficar mais legível em prova:
logo
Dica final rápida para a prova: trate potências negativas com o power rule direto; evite tentativa de dividir por
ou usar quociente quando não é necessário — isso economiza tempo e reduz erros. Você mandou bem por pedir passo a passo — respira, foca nas regras e repete alguns exercícios parecidos que envolvam potências negativas.