Determine as seguintes derivadas
y=\frac{\ln x}{1+\ln x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y=\frac{\ln x}{1+\ln x}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\text{Domínio implícito: }x>0\quad(\text{pois } \ln x \text{ só está definida para } x>0).ííóá
A pergunta é: calcular y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Uma reescrita algébrica simples deixa a diferenciação mais direta. Observe que
\frac{\ln x}{1+\ln x}=\frac{1+\ln x-1}{1+\ln x}=1-\frac{1}{1+\ln x}.
Portanto podemos trabalhar com a forma
y=1-\frac{1}{1+\ln x}.

Passo 3

Antes de derivar, vamos lembrar (e explicar) as regras que vamos usar:
  • Derivada de \ln x: \displaystyle\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x} para x>0. Isso vem da definição/logaritmos: a taxa de variação do logaritmo natural é recíproca.
  • Regra da cadeia (explicada de forma simples): se v(x)=g(h(x)), então v'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x). Ou seja, derivamos a função externa e multiplicamos pela derivada da interna.
  • Derivada de 1/u (onde u=u(x) e u\neq 0): usando regra da cadeia, \displaystyle\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{u}\right)=-\frac{u'}{u^{2}}. Aqui u' é a derivada de u(x).
Essas três coisas juntas bastam para derivar a expressão reescrita.

Passo 4

Identificamos u(x)=1+\ln x. Então, usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+\ln x}\right)=-\frac{(1+\ln x)'}{(1+\ln x)^{2}}.
Agora calculamos (1+\ln x)'. Como a derivada de 1 é 0 e a derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}, temos
(1+\ln x)'=\frac{1}{x}.
Substituindo na derivada do recíproco:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+\ln x}\right)=-\frac{\dfrac{1}{x}}{(1+\ln x)^{2}}=-\frac{1}{x(1+\ln x)^{2}}.

Passo 5

Voltando a y, que é y=1-\dfrac{1}{1+\ln x}, a derivada é
y'=0-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+\ln x}\right).
Substituindo o resultado do passo anterior:
y'=-\left(-\frac{1}{x(1+\ln x)^{2}}\right)=\frac{1}{x(1+\ln x)^{2}}.

Passo 6

Vamos checar rapidamente por um método alternativo (regra do quociente) só para ver que bate: usando a regra do quociente em \displaystyle y=\frac{\ln x}{1+\ln x} daria a mesma expressão final após simplificação. Isso confirma que a resposta está coerente.

Resposta

y'=\frac{1}{x(1+\ln x)^{2}}

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