Determine as seguintes derivadas
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A pergunta é: calcular
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Uma reescrita algébrica simples deixa a diferenciação mais direta. Observe que
Portanto podemos trabalhar com a forma
Passo 3
Antes de derivar, vamos lembrar (e explicar) as regras que vamos usar:
- Derivada de
: para . Isso vem da definição/logaritmos: a taxa de variação do logaritmo natural é recíproca. - Regra da cadeia (explicada de forma simples): se
, então . Ou seja, derivamos a função externa e multiplicamos pela derivada da interna. - Derivada de
(onde e ): usando regra da cadeia, . Aqui é a derivada de .
Essas três coisas juntas bastam para derivar a expressão reescrita.
Passo 4
Identificamos
. Então, usando a regra da cadeia:
Agora calculamos
. Como a derivada de
é
e a derivada de
é
, temos
Substituindo na derivada do recíproco:
Passo 5
Voltando a
, que é
, a derivada é
Substituindo o resultado do passo anterior:
Passo 6
Vamos checar rapidamente por um método alternativo (regra do quociente) só para ver que bate: usando a regra do quociente em
daria a mesma expressão final após simplificação. Isso confirma que a resposta está coerente.