Determine as derivadas de segunda ordem:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a segunda derivada da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando regras de derivação como a regra da cadeia. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e aplicar a regra do poder.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. Para isso, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia é útil quando temos uma função dentro de outra função, como temos aqui.
Passo 3
A função que temos é
. Vamos chamar
. Assim, nossa função fica
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
, que é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
. Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Sabemos que
, então:
Passo 6
Substituindo
e
de volta na expressão da derivada:
Passo 7
Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar a segunda derivada. Vamos derivar novamente:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão antes de derivar. Escrevendo de forma mais clara:
Agora, aplicamos a regra do produto para derivar essa expressão.
Passo 9
Aplicando a regra do produto:
Passo 10
Primeiro, derivamos
usando a regra da cadeia novamente:
E depois, derivamos
:
Passo 11
Substituindo essas derivadas de volta na expressão:
Passo 12
Simplificando cada termo:
Passo 13
Fatorando o 2 e reorganizando:
Podemos ainda simplificar combinando os termos:
Resposta
A segunda derivada de
é: