Determine as derivadas de segunda ordem:
a) d^2/dx^2 (1 + 1/x)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a segunda derivada da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente usando regras de derivação como a regra da cadeia. Vamos precisar saber como derivar funções compostas e aplicar a regra do poder.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. Para isso, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia é útil quando temos uma função dentro de outra função, como temos aqui.

Passo 3

A função que temos é . Vamos chamar . Assim, nossa função fica .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a , que é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a . Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Sabemos que , então:

Passo 6

Substituindo e de volta na expressão da derivada:

Passo 7

Agora que temos a primeira derivada, vamos encontrar a segunda derivada. Vamos derivar novamente:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão antes de derivar. Escrevendo de forma mais clara:
Agora, aplicamos a regra do produto para derivar essa expressão.

Passo 9

Aplicando a regra do produto:

Passo 10

Primeiro, derivamos usando a regra da cadeia novamente:
E depois, derivamos :

Passo 11

Substituindo essas derivadas de volta na expressão:

Passo 12

Simplificando cada termo:

Passo 13

Fatorando o 2 e reorganizando:
Podemos ainda simplificar combinando os termos:

Resposta

A segunda derivada de é:

Exercícios relacionados