Sendo g(x) = x / (x^2 + 9), determine
a) O seu domínio, as intersecções com os eixos e as suas assíntotas;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos determinar três coisas:
  1. Domínio: os valores de que a função pode assumir.
  2. Intersecções com os eixos: onde a função cruza o eixo e o eixo .
  3. Assíntotas: linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de funções racionais, onde denominador e numerador são polinômios.

Passo 2

Determinar o domínio da função :
O domínio de uma função racional são todos os valores de que não fazem o denominador ser zero, porque divisão por zero não está definida.
Então, vamos resolver:
Como qualquer número real ao quadrado é positivo, nunca será igual a -9. Portanto, não há restrições para .
Conclusão: O domínio da função é todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Encontrar as intersecções com os eixos:
  1. Intersecção com o eixo :
Para encontrar onde a função cruza o eixo , substituímos :
Então, a intersecção com o eixo é no ponto .
  1. Intersecções com o eixo :
Para encontrar onde a função cruza o eixo , procuramos valores de onde :
Isso acontece quando o numerador é zero:
Portanto, a intersecção com o eixo também é no ponto .

Passo 4

Determinar as assíntotas da função :
Assíntotas são linhas que a curva da função se aproxima quando vai para infinito ou menos infinito.
  1. Assíntota horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando vai para ou .
Dividimos numerador e denominador por :
Então, a assíntota horizontal é .
  1. Assíntotas verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, mas o numerador não é zero simultaneamente.
No nosso caso, resolvemos :
Isso não tem solução real, então não há assíntotas verticais.
Conclusão: A única assíntota da função é a horizontal .

Resposta

a) Domínio: Todos os números reais ( ).
Intersecções com os eixos: Ponto .
Assíntotas: Assíntota horizontal em .

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