Sendo
, determine
a) O seu domínio, as intersecções com os eixos e as suas assíntotas;
a) O seu domínio, as intersecções com os eixos e as suas assíntotas;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar três coisas:
- Domínio: os valores de
que a função pode assumir. - Intersecções com os eixos: onde a função cruza o eixo
e o eixo . - Assíntotas: linhas que a função se aproxima mas nunca toca.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de funções racionais, onde denominador e numerador são polinômios.
Passo 2
Determinar o domínio da função
:
O domínio de uma função racional são todos os valores de
que não fazem o denominador ser zero, porque divisão por zero não está definida.
Então, vamos resolver:
Como qualquer número real ao quadrado é positivo,
nunca será igual a -9. Portanto, não há restrições para
.
Conclusão: O domínio da função é todos os números reais, ou seja,
.
Passo 3
Encontrar as intersecções com os eixos:
- Intersecção com o eixo
:
Para encontrar onde a função cruza o eixo
, substituímos
:
Então, a intersecção com o eixo
é no ponto
.
- Intersecções com o eixo
:
Para encontrar onde a função cruza o eixo
, procuramos valores de
onde
:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Portanto, a intersecção com o eixo
também é no ponto
.
Passo 4
Determinar as assíntotas da função
:
Assíntotas são linhas que a curva da função se aproxima quando
vai para infinito ou menos infinito.
- Assíntota horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando
vai para
ou
.
Dividimos numerador e denominador por
:
Então, a assíntota horizontal é
.
- Assíntotas verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, mas o numerador não é zero simultaneamente.
No nosso caso, resolvemos
:
Isso não tem solução real, então não há assíntotas verticais.
Conclusão: A única assíntota da função é a horizontal
.
Resposta
a) Domínio: Todos os números reais (
).
Intersecções com os eixos: Ponto .
Assíntotas: Assíntota horizontal em .
Intersecções com os eixos: Ponto
Assíntotas: Assíntota horizontal em