Sejam
e
duas funções de
, ou seja,
e
. Mostre que:
g)
;
g)
Passo 1
Beleza! Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos duas funções,
e
, mas aqui o foco é em
. A gente precisa mostrar que a derivada de
em relação a
é igual a
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que mede como uma função muda quando a gente muda um pouquinho o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função
é definida como o limite:
Isso significa que a derivada é a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição na função
. Queremos encontrar
, que é:
Passo 4
Para simplificar essa expressão, vamos usar a fórmula da soma de senos:
Substituindo na nossa expressão:
Passo 5
Vamos separar os termos que têm
e
:
Passo 6
Agora, vamos calcular os limites separadamente. Sabemos que:
Substituindo esses valores:
Resposta
Portanto, mostramos que: