Sejam f e g duas funções de x, ou seja, f(x) e g(x). Mostre que:
g) d/dx(sen(x)) = cos(x);

Passo 1

Beleza! Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos duas funções, e , mas aqui o foco é em . A gente precisa mostrar que a derivada de em relação a é igual a . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que mede como uma função muda quando a gente muda um pouquinho o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função é definida como o limite:
Isso significa que a derivada é a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição na função . Queremos encontrar , que é:

Passo 4

Para simplificar essa expressão, vamos usar a fórmula da soma de senos:
Substituindo na nossa expressão:

Passo 5

Vamos separar os termos que têm e :

Passo 6

Agora, vamos calcular os limites separadamente. Sabemos que:
Substituindo esses valores:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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