Determine d^2y / dx^2 nas equações a seguir:
c) y^2 = e^(x^2) + 2x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação onde . O conteúdo aqui envolve derivação implícita e diferenciação de funções compostas. Vamos precisar usar a regra do poder, a regra da cadeia e conhecer como derivar funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Como está elevado ao quadrado e é uma função de , precisamos usar derivação implícita. Derivando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Agora, vamos isolar para encontrar a primeira derivada:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a segunda derivada . Para isso, vamos derivar novamente em relação a :

Passo 5

Usaremos a regra do quociente para derivar . A regra do quociente diz que se temos , então:
Aqui, e .

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar :

Passo 7

Agora, encontramos , que já sabemos ser :

Passo 8

Substituindo e na regra do quociente:

Passo 9

Simplificando a expressão:

Resposta

A segunda derivada é:

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