Determine as derivadas, simplificando o máximo que for possível.
f(x)=-x^6+x^4+2-x^2+x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=-x^6+x^4+2-x^2+x
Este tópico envolve regra do quociente de derivadas. Vamos precisar identificar o numerador e o denominador como funções auxiliares e aplicar a fórmula.

Passo 2

Identificamos
u(x)=-x^6+x^4+2, v(x)=-x^2+x
Calculamos as derivadas:
u'(x)=-6x^5+4x^3, v'(x)=-2x+1

Passo 3

Pela regra do quociente, temos
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2

Passo 4

Calculamos o numerador:
Primeiro termo:
( -6x^5+4x^3)(-x^2+x)=6x^7-6x^6-4x^5+4x^4
Segundo termo:
(-x^6+x^4+2)(-2x+1)=2x^7-x^6-2x^5+x^4-4x+2
Subtraindo:
$$6x{7}-6x{6}-4x{5}+4x{4}-(2x{7}-x{6}-2x{5}+x{4}-4x+2)\
=4x{7}-5x{6}-2x{5}+3x{4}+4x-2.$$

Passo 5

O denominador ao quadrado é
(-x^2+x)^2=x^2(x-1)^2
Portanto, a derivada simplificada é

Passo 6

f'(x)=4x^7-5x^6-2x^5+3x^4+4x-2(-x^2+x)^2

Resposta

f'(x)=4x^7-5x^6-2x^5+3x^4+4x-2(-x^2+x)^2

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