Determine as derivadas, simplificando o máximo que for possivel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a derivada da função dada e simplificar o máximo possível. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é fundamental para derivar funções que são divisões de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos:
Aqui, o numerador é $ u(x) = 4x^{7} - 5x^{6} - 2x^{5} + 3x^{4} + 4x - 2 $ e o denominador é $ v(x) = x^{2}(1 - x)^{2} $.
Passo 3
Vamos aplicar a regra do quociente, que diz que se $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então a derivada $ f’(x) $ é:
Então, precisamos calcular $ u’(x) $ e $ v’(x) $.
Passo 4
Calculando $ u’(x) $:
Passo 5
Agora, calculando $ v’(x) $. Primeiro, vamos expandir $ v(x) $:
Agora, derivando termo a termo:
Passo 6
Agora que temos $ u’(x) $ e $ v’(x) $, vamos substituir na fórmula da regra do quociente:
Passo 7
Simplificar essa expressão envolve expandir os produtos e combinar termos semelhantes. Isso pode ser um pouco trabalhoso, mas vamos focar em simplificar o numerador.
Após realizar as multiplicações e combinar os termos, simplificamos a expressão resultante para obter a derivada mais limpa possível.
Resposta
Após simplificar todos os termos, a derivada da função é: