Determine as derivadas, simplifique se for possível.
y=x\left(2-\frac{2}{x+1}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a função
y = x\left(2 - \frac{2}{x+1}\right)
e pede para determinar a(s) derivada(s) de y em relação a x, simplificando o resultado quando possível. Informação importante dada:
  • A função é dada explicitamente em termos de x.
  • A tarefa é calcular y' (derivada de y em relação a x) e simplificá-la.

Passo 2

Escolha do método: antes de aplicar regras de derivação diretamente sobre um produto, é normalmente mais simples e seguro simplificar a expressão algébrica da função quando possível — isso evita cálculos desnecessários na prova e reduz chance de erro. Vou simplificar y algebricamente e então diferenciar termo a termo usando regras básicas (regra da soma, derivada de potência e derivada de função recíproca). Esta é uma abordagem elementar e rápida, adequada para prova sem calculadora.

Passo 3

Simplificação algébrica de y. Parto de
y = x\left(2 - \frac{2}{x+1}\right).
Distribuindo x:
y = 2x - \frac{2x}{x+1}.
Agora uso a identidade de divisão para reescrever \dfrac{2x}{x+1}. Fazer a divisão polinomial ou manipular:
\frac{2x}{x+1} = 2 - \frac{2}{x+1},
porque multiplicando ambos os lados por x+1 2x = 2(x+1) - 2, que é verdadeiro. Substituindo:
y = 2x - \left(2 - \frac{2}{x+1}\right) = 2x - 2 + \frac{2}{x+1}.
Portanto a forma simplificada que vamos derivar é
y = 2x - 2 + \frac{2}{x+1}.

Passo 4

Relembrando as regras de derivação que vou usar (com explicação breve e sem jargões complicados):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se f(x)=u(x)+v(x) então f'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Constante multiplicativa: se f(x)=c\cdot g(x) com c constante, então f'(x)=c\cdot g'(x).
  • Derivada de x: \dfrac{d}{dx}x = 1. Logo \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
  • Derivada de constante: \dfrac{d}{dx}(\text{constante})=0.
  • Derivada de (x+1)^{-1}: usar regra da potência/chain rule. Se h(x)=(x+1)^{-1} então h'(x)=-1\cdot (x+1)^{-2}\cdot 1 = -(x+1)^{-2}. Assim, \dfrac{d}{dx}\dfrac{2}{x+1}=2\cdot\bigl(-(x+1)^{-2}\bigr)=-\dfrac{2}{(x+1)^2}.
Aqui cada símbolo:
  • x é a variável independente.
  • y é a função de x.
  • y' representa \dfrac{dy}{dx}, a derivada de y em relação a x.

Passo 5

Derivação termo a termo da forma simplificada \displaystyle y = 2x - 2 + \frac{2}{x+1}.
  • Derivada de 2x é 2.
  • Derivada de -2 é 0.
  • Derivada de \dfrac{2}{x+1} é -\dfrac{2}{(x+1)^2} (conforme explicado no passo anterior).
Somando:
y' = 2 + 0 - \frac{2}{(x+1)^2} = 2 - \frac{2}{(x+1)^2}.

Passo 6

Simplificação final em uma única fração (opcional, mas normalmente desejável em prova). Coloco sobre denominador comum (x+1)^2:
y' = 2 - \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1)^2 - 2}{(x+1)^2}.
Factorizando o numerador:
2(x+1)^2 - 2 = 2\bigl((x+1)^2 - 1\bigr) = 2\bigl(x^2+2x+1 -1\bigr) = 2(x^2+2x) = 2x(x+2).
Logo
y' = \frac{2x(x+2)}{(x+1)^2}.
Ambas as formas \displaystyle 2 - \frac{2}{(x+1)^2} e \displaystyle \frac{2x(x+2)}{(x+1)^2} são equivalentes; a segunda é uma fração racional simplificada.

Passo 7

Verificação rápida (opcional para a prova): se alguém preferir usar a regra do produto direto em y = x\left(2 - \dfrac{2}{x+1}\right), aplicando a regra do produto (uv)' = u'v + uv' com u=x e v=2 - \dfrac{2}{x+1}, obtém-se o mesmo resultado depois de simplificar — é um bom exercício para checar que o raciocínio está correto.

Resposta

y' = 2 - \frac{2}{(x+1)^2}
y' = \frac{2x(x+2)}{(x+1)^2}

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