Determine as derivadas, simplifique se for possível.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para determinar a(s) derivada(s) de
em relação a
, simplificando o resultado quando possível. Informação importante dada:
- A função é dada explicitamente em termos de
. - A tarefa é calcular
(derivada de em relação a ) e simplificá-la.
Passo 2
Escolha do método: antes de aplicar regras de derivação diretamente sobre um produto, é normalmente mais simples e seguro simplificar a expressão algébrica da função quando possível — isso evita cálculos desnecessários na prova e reduz chance de erro. Vou simplificar
algebricamente e então diferenciar termo a termo usando regras básicas (regra da soma, derivada de potência e derivada de função recíproca). Esta é uma abordagem elementar e rápida, adequada para prova sem calculadora.
Passo 3
Simplificação algébrica de
. Parto de
Distribuindo
:
Agora uso a identidade de divisão para reescrever
. Fazer a divisão polinomial ou manipular:
porque multiplicando ambos os lados por
dá
, que é verdadeiro. Substituindo:
Portanto a forma simplificada que vamos derivar é
Passo 4
Relembrando as regras de derivação que vou usar (com explicação breve e sem jargões complicados):
- Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se
então . - Constante multiplicativa: se
com constante, então . - Derivada de
: . Logo . - Derivada de constante:
. - Derivada de
: usar regra da potência/chain rule. Se então . Assim, .
Aqui cada símbolo:
-
é a variável independente. -
é a função de . -
representa , a derivada de em relação a .
Passo 5
Derivação termo a termo da forma simplificada
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é (conforme explicado no passo anterior).
Somando:
Passo 6
Simplificação final em uma única fração (opcional, mas normalmente desejável em prova). Coloco sobre denominador comum
:
Factorizando o numerador:
Logo
Ambas as formas
e
são equivalentes; a segunda é uma fração racional simplificada.
Passo 7
Verificação rápida (opcional para a prova): se alguém preferir usar a regra do produto direto em
, aplicando a regra do produto
com
e
, obtém-se o mesmo resultado depois de simplificar — é um bom exercício para checar que o raciocínio está correto.