Determine as derivadas, simplifique se for possível.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar a(s) derivada(s) — ou seja, calcular
.
Passo 2
Lembrete das regras que vamos usar (explicadas de maneira bem direta):
- Regra do expoente (power rule): para uma potência simples
, vale
onde
é um número real. Exemplo:
.
- Regra da cadeia (chain rule): para uma função composta
, a derivada é
Isto quer dizer: deriva-se a função externa (avaliada na interna) e multiplica-se pela derivada da função interna.
Passo 3
Aplicando a ideia da regra da cadeia de forma explícita e “mastigada”:
defina a função interna
defina a função interna
e a função externa
Agora calcule as derivadas parciais:
Combine as duas (regra da cadeia):
Agora substitua de volta
:
Passo 4
Verificação alternativa (opcional, mas útil para a prova): expandir primeiro e depois derivar.
Expanda a potência:
Expanda a potência:
Agora derive termo a termo usando a regra do expoente:
Factorizando:
que coincide com o resultado obtido pela regra da cadeia.
Passo 5
Dica rápida para a prova: é mais rápido aplicar diretamente a regra da cadeia em
(como fizemos), mas expandir pode servir como checagem. Tome cuidado para não esquecer o fator
vindo da derivada da parte interna
. Vá em frente — você consegue!