Determine as derivadas, simplifique se for possível.
y=\left(x^{3}+1\right)^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função y=\left(x^{3}+1\right)^{2} e pede para determinar a(s) derivada(s) — ou seja, calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Lembrete das regras que vamos usar (explicadas de maneira bem direta):
  • Regra do expoente (power rule): para uma potência simples \,x^{n}, vale
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1},
onde n é um número real. Exemplo: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
  • Regra da cadeia (chain rule): para uma função composta y=f(g(x)), a derivada é
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Isto quer dizer: deriva-se a função externa (avaliada na interna) e multiplica-se pela derivada da função interna.

Passo 3

Aplicando a ideia da regra da cadeia de forma explícita e “mastigada”:
defina a função interna
u(x)=x^{3}+1,
e a função externa
y(u)=u^{2}.
Agora calcule as derivadas parciais:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+1\bigr)=3x^{2},
\frac{dy}{du}=\frac{d}{du}\bigl(u^{2}\bigr)=2u.
Combine as duas (regra da cadeia):
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\cdot 3x^{2}=6x^{2}u.
Agora substitua de volta u=x^{3}+1:
\frac{dy}{dx}=6x^{2}\bigl(x^{3}+1\bigr).

Passo 4

Verificação alternativa (opcional, mas útil para a prova): expandir primeiro e depois derivar.
Expanda a potência:
\bigl(x^{3}+1\bigr)^{2}=x^{6}+2x^{3}+1.
Agora derive termo a termo usando a regra do expoente:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}+2x^{3}+1\bigr)=6x^{5}+6x^{2}.
Factorizando:
6x^{5}+6x^{2}=6x^{2}\bigl(x^{3}+1\bigr),
que coincide com o resultado obtido pela regra da cadeia.

Passo 5

Dica rápida para a prova: é mais rápido aplicar diretamente a regra da cadeia em \left(x^{3}+1\right)^{2} (como fizemos), mas expandir pode servir como checagem. Tome cuidado para não esquecer o fator 3x^{2} vindo da derivada da parte interna x^{3}+1. Vá em frente — você consegue!

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=6x^{2}\bigl(x^{3}+1\bigr)

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