Questão 8. Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de Cauchy
com a condição inicial
. O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem que pode ser tratada por separação de variáveis para depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
Primeiro, lembro que e que posso isolar
multiplicando ambos os lados por
. Assim:
\
fica
Passo 3
Agora separo as variáveis, colocando tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro:
Passo 4
Integro ambos os lados. Do lado esquerdo uso
e do direito
. Portanto:
Multiplicando por
:
com
.
Passo 5
Exponenciando, obtenho
onde absorvi o sinal em
. Para simplificar, escrevo
e, portanto,
Passo 6
Agora uso a condição inicial
:
Passo 7
Substituindo
na solução geral, encontro