Questão 8. Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
y^prime cotg(x)+y & = 1 y(0) & =3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de Cauchy
com a condição inicial y'(x)cotg(x)+y(x)=1, . O conteúdo aqui é equação diferencial de primeira ordem que pode ser tratada por separação de variáveis para depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, lembro que e que posso isolar cotg(x)=cos xsin x multiplicando ambos os lados por y'. Assim:
\
fica
tan(x)=sin xcos x

Passo 3

Agora separo as variáveis, colocando tudo que envolve y de um lado e tudo que envolve x do outro:
dy1-y=tan(x),dx

Passo 4

Integro ambos os lados. Do lado esquerdo uso integraldy1-y=-ln|1-y| e do direito integraltan(x),dx=-ln|cos(x)|. Portanto:
-ln|1-y|=-ln|cos(x)|+C
Multiplicando por -1):
ln|1-y|=ln|cos(x)|+C',
com C'=-C.

Passo 5

Exponenciando, obtenho
|1-y|=e^C',|cos(x)|=Kcos(x),
onde absorvi o sinal em K. Para simplificar, escrevo
1-y=Kcos(x)
e, portanto,
y(x)=1-Kcos(x)

Passo 6

Agora uso a condição inicial y(0)=3:
3=y(0)=1-Kcos(0)=1-Kcdot1implies K=-2

Passo 7

Substituindo K=-2 na solução geral, encontro
y(x)=1-(-2)cos(x)=1+2cos(x)

Resposta

y(x)=1+2cos(x)

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