Determine o desenvolvimento em série de Taylor:
f(x)=ln x relativamente a a=pi2

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento em série de Taylor de f(x)=ln x em torno de a=pi/2. Vamos usar a definição de série de Taylor e precisar das derivadas de ln x.

Passo 2

A fórmula de Taylor em torno de a é
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!(x-a)^n
Para f(x)=ln x, temos f'(x)=1/x, f''(x)=-1/x^2 e, em geral para n>=1,
f^(n)(x)=(-1)^n-1(n-1)!x^n

Passo 3

Logo, para n>=1,
f^(n)(a)n! =(-1)^n-1(n-1)!n!,a^n =(-1)^n-11n,a^n
Substituindo na fórmula de Taylor,
ln x =ln a +sumn=1^infty(-1)^n-1(x-a)^nn,a^n

Passo 4

Tomando a=pi/2 obtemos
ln x =ln!l(pi2r) +sumn=1^infty(-1)^n-1l(x-pi2r)^nnl(pi2r)^n
A série converge quando
l|tfracx-pi/2pi/2r|<1, isto é 0<x<pi.

Resposta

ln x =ln!l(pi2r) +sumn=1^infty(-1)^n-1l(x-tfracpi2r)^nnl(tfracpi2r)^n

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