Pela diferenciação e/ou integração, ache uma representação em séries de potências e encontre o raio e o intervalo de convergência testando os extremos:
f(x)=tg^-1(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de f(x)=tg^-1(2x) e, em seguida, o raio e o intervalo de convergência testando os extremos. Vamos usar a técnica de diferenciar para obter uma série geométrica e depois integrar termo a termo, além de aplicar o critério de séries alternadas nos extremos.

Passo 2

Calculemos a derivada de f e expanda-a em série de potências. Primeiro,
f'(x)=ddxl[tg^-1(2x)r] =21+(2x)^2 =21+4x^2
Em seguida, para |2x|<1 usamos a expansão geométrica
11+4x^2 =sumn=0^infty(-1)^n(4x^2)^n =sumn=0^infty(-1)^n2^2nx^2n,
logo
f'(x) =2sumn=0^infty(-1)^n2^2nx^2n =sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1x^2n

Passo 3

Agora integramos termo a termo para recuperar f(x):
f(x) =integral f'(x),dx =integralsumn=0^infty(-1)^n2^2n+1x^2n,dx =sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1x^2n+12n+1+C

Passo 4

Para determinar C usamos f(0)=tg^-1(0)=0, logo C=0. Assim obtemos
tg^-1(2x) =sumn=0^infty(-1)^n2^2n+12n+1,x^2n+1

Passo 5

O raio de convergência vem da condição |2x|<1, isto é |x|<tfrac12. Logo
R=tfrac12

Passo 6

Testamos os extremos x=pmtfrac12:
  • Para x=tfrac12 a série vira sumn=0^infty(-1)^n12n+1, que converge por critério de Leibniz.
  • Para x=-tfrac12 fica sumn=0^infty(-1)^n+112n+1, também convergente por Leibniz.
    Portanto, a convergência inclui ambos os extremos.

Resposta

tg^-1(2x) =sumn=0^infty(-1)^n2^2n+12n+1,x^2n+1, R=tfrac12, intervalo de convergência [-tfrac12,tfrac12] ê

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