Pela diferenciação e/ou integração, ache uma representação em séries de potências e encontre o raio e o intervalo de convergência testando os extremos:
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências de
e, em seguida, o raio e o intervalo de convergência testando os extremos. Vamos usar a técnica de diferenciar para obter uma série geométrica e depois integrar termo a termo, além de aplicar o critério de séries alternadas nos extremos.
Passo 2
Calculemos a derivada de
e expanda-a em série de potências. Primeiro,
Em seguida, para
usamos a expansão geométrica
logo
Passo 3
Agora integramos termo a termo para recuperar
:
Passo 4
Para determinar
usamos
, logo
. Assim obtemos
Passo 5
O raio de convergência vem da condição
, isto é
. Logo
Passo 6
Testamos os extremos
:
- Para
a série vira , que converge por critério de Leibniz. - Para
fica , também convergente por Leibniz.
Portanto, a convergência inclui ambos os extremos.