Pela diferenciação e/ou integração, ache uma representação em séries de potências e encontre o raio e o intervalo de convergência testando os extremos:
f(x)=1(1-2 x)^2

Passo 1

O enunciado pede a representação em série de potências de
f(x)=1(1-2x)^2,
além de determinar o raio de convergência e testar os extremos. Vamos usar a série geométrica e sua diferenciação.

Passo 2

Começamos com a série geométrica padrão para lvert urvert<1:
11-u=sumn=0^inftyu^n

Passo 3

Diferenciando membro a membro em relação a u obtemos
ddugl(11-ugr)=1(1-u)^2 Longrightarrow sumn=0^inftyn,u^n-1 =summ=1^inftym,u^m-1
Reindexando ( m-1=n) dá
1(1-u)^2 =sumn=0^infty(n+1),u^n

Passo 4

Substituindo u=2x na série acima, temos
1(1-2x)^2 =sumn=0^infty(n+1),(2x)^n =sumn=0^infty(n+1)2^nx^n
A condição de convergência é lvert 2xrvert<1, isto é lvert xrvert<tfrac12. Portanto o raio de convergência é
R=12

Passo 5

Testamos os extremos:
  1. Em x=tfrac12, o termo geral vira (n+1)2^n(tfrac12)^n=n+1, que não tende a zero, logo diverge.
  2. Em x=-tfrac12, o termo geral é (n+1)2^n(-tfrac12)^n=(n+1)(-1)^n, cujo módulo cresce sem limite, também diverge.

Resposta

1(1-2x)^2 =sumn=0^infty(n+1)2^nx^n
O raio de convergência é R=12 e o intervalo de convergência é l(-tfrac12,tfrac12r), sem inclusão dos extremos.

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