Pela diferenciação e/ou integração, ache uma representação em séries de potências e encontre o raio e o intervalo de convergência testando os extremos:
Passo 1
O enunciado pede a representação em série de potências de
além de determinar o raio de convergência e testar os extremos. Vamos usar a série geométrica e sua diferenciação.
Passo 2
Começamos com a série geométrica padrão para
:
Passo 3
Diferenciando membro a membro em relação a
obtemos
Reindexando (
) dá
Passo 4
Substituindo
na série acima, temos
A condição de convergência é
, isto é
. Portanto o raio de convergência é
Passo 5
Testamos os extremos:
-
Em
, o termo geral vira , que não tende a zero, logo diverge. -
Em
, o termo geral é , cujo módulo cresce sem limite, também diverge.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
, sem inclusão dos extremos.