Determine o deslocamento, u(x, t), de uma corda de 40 cm de comprimento, presa nas extremidades, com coeficiente a=2, com deslocamento inicial nulo solta de forma que a velocidade inicial seja dada por
g(x)=ll x, & se 0 <= x<10 10, & se 10 <= x<30 40-x, & se 30 <= x <= 40

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o deslocamento u(x, t) de uma corda de 40 cm presa nas extremidades. A corda tem um coeficiente a = 2 , começa sem deslocamento inicial (ou seja, estava em repouso), e é solta com uma velocidade inicial definida pela função g(x) . Para resolver isso, vamos usar a teoria das ondas, especificamente a equação da onda com condições iniciais dadas. Precisamos entender um pouco sobre séries de Fourier e como elas ajudam a representar funções como a g(x) para encontrar u(x, t) .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação da onda para uma corda fixada nas extremidades é dada por:
partial^2 upartial t^2 = a^2 partial^2 upartial x^2
Aqui, a é a velocidade da onda na corda. Como temos condições iniciais de deslocamento inicial nulo e uma velocidade inicial g(x) , a solução u(x, t) pode ser expressa como uma série de Fourier que incorpora essas condições.

Passo 3

Vamos expressar a velocidade inicial g(x) como uma série de senos, já que a corda está fixa nas extremidades (0 e 40 cm). A série de Fourier para g(x) é:
g(x) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL)
onde L = 40 cm é o comprimento da corda e os coeficientes Bn são calculados por:
Bn = 2L integral0^L g(x) sin(npi xL) dx

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes [B_n). Como é uma função por partes, vamos dividir a integral de acordo com os intervalos dados:
Portanto, os coeficientes (B_n] serão:

Passo 5

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Por exemplo, para a primeira integral:
integral x sin(npi x40) dx
Usamos integração por partes, onde u = x e dv = sin(npi x40) dx . Repetimos esse processo para as outras integrais. Após calcular todas, obtemos os valores de Bn .

Passo 6

Com os coeficientes Bn determinados, podemos escrever a solução para u(x, t) utilizando a série de Fourier:
u(x, t) = sumn=1^infty Bnnpi a sin(npi x40) cos(npi a t40)
Aqui, utilizamos que o deslocamento u(x, t) depende dos modos de vibração da corda, cada um oscilando com frequência proporcional a n .

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores de Bn na série para obter u(x, t) . Isso nos dá o deslocamento da corda em qualquer ponto x e em qualquer tempo t .

Resposta

Portanto, o deslocamento u(x, t) da corda é dado pela série de Fourier:
u(x, t) = sumn=1^infty Bnnpi cdot 2 sin(npi x40) cos(npi cdot 2 cdot t40)
onde os coeficientes Bn são calculados conforme explicado nos passos anteriores.

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