Determine o deslocamento, , de uma corda de 40 cm de comprimento, presa nas extremidades, com coeficiente , com deslocamento inicial nulo solta de forma que a velocidade inicial seja dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o deslocamento u(x, t) de uma corda de 40 cm presa nas extremidades. A corda tem um coeficiente a = 2 , começa sem deslocamento inicial (ou seja, estava em repouso), e é solta com uma velocidade inicial definida pela função g(x) . Para resolver isso, vamos usar a teoria das ondas, especificamente a equação da onda com condições iniciais dadas. Precisamos entender um pouco sobre séries de Fourier e como elas ajudam a representar funções como a g(x) para encontrar u(x, t) .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação da onda para uma corda fixada nas extremidades é dada por:
Aqui, a é a velocidade da onda na corda. Como temos condições iniciais de deslocamento inicial nulo e uma velocidade inicial g(x) , a solução u(x, t) pode ser expressa como uma série de Fourier que incorpora essas condições.
Passo 3
Vamos expressar a velocidade inicial g(x) como uma série de senos, já que a corda está fixa nas extremidades (0 e 40 cm). A série de Fourier para g(x) é:
g(x) = sumn=1^infty Bn sin(npi xL)
onde L = 40 cm é o comprimento da corda e os coeficientes Bn são calculados por:
Bn = 2L integral0^L g(x) sin(npi xL) dx
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes [B_n). Como é uma função por partes, vamos dividir a integral de acordo com os intervalos dados:
Portanto, os coeficientes (B_n] serão:
Passo 5
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente. Por exemplo, para a primeira integral:
integral x sin(npi x40) dx
Usamos integração por partes, onde u = x e dv = sin(npi x40) dx . Repetimos esse processo para as outras integrais. Após calcular todas, obtemos os valores de Bn .
Passo 6
Com os coeficientes Bn determinados, podemos escrever a solução para u(x, t) utilizando a série de Fourier:
u(x, t) = sumn=1^infty Bnnpi a sin(npi x40) cos(npi a t40)
Aqui, utilizamos que o deslocamento u(x, t) depende dos modos de vibração da corda, cada um oscilando com frequência proporcional a n .
Passo 7
Finalmente, substituímos os valores de Bn na série para obter u(x, t) . Isso nos dá o deslocamento da corda em qualquer ponto x e em qualquer tempo t .
Resposta
Portanto, o deslocamento u(x, t) da corda é dado pela série de Fourier: