Inverta a ordem de integração das seguintes integrais duplas iteradas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla iterada:
O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais duplas, especificamente a inversão da ordem de integração. Para resolver isso, precisamos entender os limites de integração e como eles definem a região no plano
.
Passo 2
Vamos visualizar a região de integração. Originalmente,
varia de 0 a 4. Para cada valor de
,
varia de 0 até
. Isso significa que a região está abaixo da linha
e entre
e
.
Passo 3
Desenhando isso no plano
, a linha
começa em (0,0) e vai até (4,2). Portanto, a região de integração é um triângulo com vértices em (0,0), (4,0) e (4,2).
Passo 4
Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, precisamos determinar novos limites para
e, para cada
, os limites correspondentes para
.
Passo 5
Observando a região,
varia de 0 a 2 (já que no ponto
,
). Para cada valor de
,
começa na linha
, que rearranjada fica
, e vai até 4.
Passo 6
Com os novos limites, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A integral dupla com a ordem de integração invertida é: