Inverta a ordem de integração das seguintes integrais duplas iteradas:
integral0^4 integral0^x2 f(x, y) d y d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla iterada:
integral0^4 integral0^x2 f(x, y) , dy , dx
O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais duplas, especificamente a inversão da ordem de integração. Para resolver isso, precisamos entender os limites de integração e como eles definem a região no plano xy.

Passo 2

Vamos visualizar a região de integração. Originalmente, x varia de 0 a 4. Para cada valor de x, y varia de 0 até x2. Isso significa que a região está abaixo da linha y = x2 e entre x = 0 e x = 4.

Passo 3

Desenhando isso no plano xy, a linha y = x2 começa em (0,0) e vai até (4,2). Portanto, a região de integração é um triângulo com vértices em (0,0), (4,0) e (4,2).

Passo 4

Agora, queremos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em x e depois em y. Para isso, precisamos determinar novos limites para y e, para cada y, os limites correspondentes para x.

Passo 5

Observando a região, y varia de 0 a 2 (já que no ponto x = 4, y = 2). Para cada valor de y, x começa na linha y = x2, que rearranjada fica x = 2y, e vai até 4.

Passo 6

Com os novos limites, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^2 integral2y^4 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
integral0^2 integral2y^4 f(x, y) , dx , dy

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