Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
\left(1-\frac{3}{t}+y\right) \cdot d t+\left(1-\frac{3}{y}+t\right) \cdot d y=0
\left(1-\frac{3}{t}+y\right) \cdot d t+\left(1-\frac{3}{y}+t\right) \cdot d y=0
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, caso seja, encontrar sua solução geral. O conteúdo que vamos usar é o de equações diferenciais exatas, em que precisamos calcular derivadas parciais e depois integrar para obter uma função potencial Ψ(t,y).
Passo 2
Primeiro identificamos as funções
Para saber se a equação é exata, comparamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora, existe uma função potencial Ψ(t,y) tal que
Para encontrá-la, integramos M em relação a t, tratando y como constante:
$$
Ψ(t,y)=\int\Bigl(1-\frac{3}{t}+y\Bigr)dt=t-3\ln|t|+yt+h(y),
$$
onde é uma “constante” de integração que pode depender de y.
onde
Passo 4
Para determinar
, usamos a outra condição exata:
que deve ser igual a
. Logo,
$$t+h’(y)=1-\frac{3}{y}+t\ \Longrightarrow\ h’(y)=1-\frac{3}{y}.
$$
Passo 5
Substituindo
em Ψ, a função potencial fica
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
onde