Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
\left(1-\frac{3}{t}+y\right) \cdot d t+\left(1-\frac{3}{y}+t\right) \cdot d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
l(1-3t+yr),dt+l(1-3y+tr),dy=0
é exata e, caso seja, encontrar sua solução geral. O conteúdo que vamos usar é o de equações diferenciais exatas, em que precisamos calcular derivadas parciais e depois integrar para obter uma função potencial Ψ(t,y).

Passo 2

Primeiro identificamos as funções
M(t,y)=1-tfrac3t+y, N(t,y)=1-tfrac3y+t
Para saber se a equação é exata, comparamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=1,partial Npartial t=1
Como partial M/partial y=partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 3

Agora, existe uma função potencial Ψ(t,y) tal que
partial Ψpartial t=M(t,y)=1-tfrac3t+y
Para encontrá-la, integramos M em relação a t, tratando y como constante:
$$
Ψ(t,y)=\int\Bigl(1-\frac{3}{t}+y\Bigr)dt=t-3\ln|t|+yt+h(y),
$$
onde Ψ(t,y)=integrall(1-3t+yr)dt=t-3ln|t|+yt+h(y), é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos a outra condição exata:
partial Ψpartial y=t+h'(y)
que deve ser igual a N(t,y)=1-tfrac3y+t. Logo,
$$t+h’(y)=1-\frac{3}{y}+t\ \Longrightarrow\ h’(y)=1-\frac{3}{y}.
t+h'(y)=1-3y+t Longrightarrow h'(y)=1-3y h(y)=\int\Bigl(1-\frac{3}{y}\Bigr)dy=y-3\ln|y|.
$$

Passo 5

Substituindo h(y) em Ψ, a função potencial fica
Ψ(t,y)=t-3ln|t|+yt+y-3ln|y|
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
Ψ(t,y)=C,
onde C é constante.

Resposta

t+yt+y-3ln|t|-3ln|y|=C

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